Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, вероятность возникновения дискретных флуктуационных уровней в случайных полях всех трех рассмотренных нами типов оказывается конечной. Причина этого очевидна: в этих полях отличны от нуля (хотя, может быть, и невелики) вероятности образования достаточно глубоких *) и широких флуктуа-
*) Разумеется, слова «достаточно глубоких» имеют здесь лишь формальный математический смысл. Фактически, в силу условий применимости данных моделей, мы не имеем права рассматривать уровни с энергиями ионизации порядка ширины запрещенной зоны. Весьма часто, однако, последняя значительно превосходит все другие характерные энергии электронов (в том числе и 'Ф^2). что и оправдывает наши рассуждения.
§ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
107
ционных ям. В принципе, разумеется, возможны и другие типы случайных полей. Так, могло бы оказаться, что возможные значения функции U(г) ограничены по модулю величиной, сравнимой с характерной энергией электронов (или даже меньшей ее). Тогда флуктуационные ямы нужной глубины могут и не возникнуть. Формально это проявляется в том, что аргумент ступенчатой функции в формуле (9.17) не сможет оказаться положительным. Исследование ограничений такого типа, однако, требует конкретизации рассматриваемой модели случайного поля. В системах, указанных в пунктах 1)—4), 7) и 8) § I. 1, они, по-видимому, не имеют места.
Обратимся теперь к вопросу о возможности локализации двух электронов в одной и той же флуктуационной потенциальной яме. При этом, очевидно, необходимо явно учитывать куло-новское взаимодействие между двумя данными электронами. С другой стороны, влияние всех остальных носителей заряда, как и при рассмотрении «одноэлектронных» уровней, может проявиться лишь в экранировании силовых полей. При этом мы примем во внимание и возможное в принципе экранирование взаимодействия двух локализованных электронов друг с другом. Действительно, размеры области локализации могут оказаться довольно большими.
Как мы увидим, явный вид потенциальной энергии экранированного взаимодействия двух электронов Vc оказывается не очень существенным. По этой причине мы ограничимся простейшим выражением:
^<r'-r!)=TT7ihrT“p(--Ulirl1-)- <9-33>
Здесь е — статическая диэлектрическая проницаемость материала, которая наблюдалась бы в отсутствие свободных носителей заряда*), rj и г2 — радиус-векторы двух рассматриваемых электронов, Го —радиус экранирования. Явное выражение для него зависит от механизма экранирования. Для дальнейшего, однако, оно не очень существенно: достаточно рассматривать г0 просто как феноменологический параметр.
Таким образом, мы приходим к двухэлектронной задаче с гамильтонианом
Н = Ti Т2 -f- Vc (fi — Г2) + U (ti) -f- U (гг). (9.34)
*) Строго говоря, отождествление е со статической диэлектрической проницаемостью полностью оправдано лишь в случае гомеополярного материала. При наличии заметной доли ионной связи так можно поступать, лишь рассматривая самые мелкие уровни. Именно, энергия ионизации Е, должна удовлетворять условию Eilh <0о, где со а — характерная частота поляризацион ных колебаний ионов.
108 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Исследуя спектр соответствующего уравнения Шредингера, мы можем ограничиться приближением Хартри. Действительно, учет корреляционных эффектов может лишь ослабить эффект кулоновского отталкивания (то же относится и к обменной поправке, проявляющейся лишь в случае параллельных электронных спинов). Следовательно, возможный вывод о конечной вероятности возникновения «двухэлектронных» уровней, полученный в приближении Хартри, окажется тем более справедливым при более точном расчете. Дальнейшие рассуждения протекают так же, как и в одноэлектронном случае. Следует лишь в качестве пробной функции i|)Y взять произведение функций вида (9.26) (тем самым мы ограничиваемся случаем антипараллель-ных электронных спинов). Ограничимся для простоты только гауссовым случайным полем. Тогда нижняя граница вероятности образования двухэлектронных локальных уровней вновь дается правой частью (9.21'), в которой надо лишь заменить аргумент r)i на
Последнее слагаемое в числителе (9.28') учитывает эффект отталкивания. Заметим, чт,о при изменении своего аргумента от нуля до бесконечности функция /, отражающая явный вид экранированного потенциала, изменяется лишь от 1/2 до 1. Иначе говоря, роль кулоновского отталкивания (даже переоцененная в связи с использованием аппроксимации Хартри) сводится лишь к появлению в числителе (9.28') дополнительного слагаемого е2 Ъе2
~ — Y~1/2> т. е. к замене | vmin | на | vmin | + у. Таким образом, учет кулоновского отталкивания между двумя локализованными электронами уменьшает вероятность образования соответствующих уровней (чего и следовало ожидать), но все же не обращает ее в нуль. Уровни такого типа — занимаемые двумя электронами с антипараллельными спинами — также должны существовать в запрещенной зоне рассматриваемого неупорядоченного полупроводника (хотя, видимо, в меньшей концентрации, чем одноэлектронные). Очевидно, это обстоятельство может служить одной из причин различия данных о полной концентрации дискретных уровней, полученных по ЭПР и другими методами*). Действительно, двухэлектронные уровни рассматри-
