Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть мы имеем набор хаотически разбросанных сферических областей радиуса R в полупроводнике, легированном донорами. Флуктуация концентрации доноров в пределах каждой из областей есть б Na; с ней связана избыточная концентрация экранирующих электронов Ьп = п0 [exp (еср/Г)—1], где ср — электростатический потенциал, п0 — средняя концентрация электронов (использование больцмановской статистики здесь не носит принципиального характера: при отказе от него изменилось бы лишь выражение для фигурирующего в дальнейшем радиуса экранирования г0). Будем считать, что рассматриваемые объемы не перекрываются и, как уже говорилось, содержат много частиц, т. е. концентрация их iV и размер R удовлетворяют следующим неравенствам:
NR3^ 1, ^R4Nd^>\. (8.26)
Допустим для простоты, что |еср|<с7\ Тогда потенциал отдельной области дается выражениями (начало координат — в
центре данной области)
Ф (г) —
flit1 - (ro/r) С1 + Rlro) ехР (~ *lr0) sh (''/''о)]. r<#>
i i \ (8.27)
arg[(/?/r0)ch(/?/r0) - sh(^//~0)]~~~ ~ , r>R.
л 4Я6 « ii n у-r
Здесь a — ——oNd, r~l = ——. Пользуясь выражениями
(8.27), легко убедиться, что условие |еср|<С Т сводится в данном случае к неравенству /?<г0 (если бNa'^ п0).
Полный потенциал V/e получается суммированием выражений (8.27) по всем областям. При некоррелированном расположении последних в пространстве при этом возникает пуассонов-ское случайное поле, причем, как легко убеди1ъся,
'I’i
— N^dr e2q>2 (г), i|32 — j N ^ dr e2 (V<p)2. (8.28)
98 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Подставляя сюда выражения (8.27), получаем (при R <С г0)
= r0R*e2N, = ^ R5e2N. (8.29)
Соответственно условие гладкости (8.2) принимает вид
eh* ----------------<С 1. (8.30)
-^R36Nd(Nriy/2
По смыслу задачи zfi2/tne2R<Cl. Принимая во внимание неравенства (8.26), видим, что условие (8.30) заведомо выполняется уже при Nr\~ 1.
Желая использовать этот иллюстративный пример для рассмотрения ситуации в реальных материалах, мы должны были бы принять во внимание и возможное присутствие акцепторов и других заряженных дефектов, а также выполнить усреднение по значениям бNa и R и по форме рассматриваемых объемов, а может быть, и принять во внимание корреляцию в относительном их расположении. Видимо, обилие неизбежно возникающих здесь предположений модельного характера делает такой расчет мало оправданным. Проще рассматривать величины \pi и г|з2 (или их аналоги в случае негауссова поля) как феноменологические параметры.
В рассмотренном выше иллюстративном примере, как и в более сложных случаях, характерных, например, для радиа-ционно поврежденных материалов, гладкое случайное поле возникало «изначально». В дальнейшем (§ 12) мы увидим, однако, что и в системах с отнюдь не гладкими случайными полями также возникает плавное искривление зон. Его можно рассматривать как гладкое случайное поле «вторичного» характера.
§ 9*. Теорема существования дискретных флуктуационных уровней в запрещенной зоне неупорядоченного полупроводника
В соответствии со сказанным в § 1, нам надлежит оценить вероятность Qb того, что в данном случайном поле возникают дискретные уровни. Они отвечают локализованным (в смысле, указанном в §§ 1, 2) состояниям носителей заряда. Для этой цели удобно написать сначала условие возникновения таких уровней при заданной форме потенциальной энергии электрона t/(r). Интересующая нас вероятность представляет собой не что иное, как вероятность реализации указанного условия. Вычислить ее нелегко; для наших целей, однако, достаточно найти нижнюю ее границу.
§ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
99
Будем рассматривать макроскопически однородную систему. Тогда, в соответствии с §§ 1, 7, задача сводится к исследованию системы электронов с гамильтонианом
Я = Яо+2>(гг), (9.1)
i
где индекс i нумерует электроны, U(г,)—потенциальная энергия j-го электрона в случайном поле, нормированная условием
(7.4), Н0 — гамильтониан системы электронов, движущихся во «вспомогательном» (в смысле § 8) периодическом поле и взаимодействующих друг с другом. Периодическое поле исключим с помощью метода эффективной массы, причем для простоты будем считать соответствующий закон дисперсии параболическим и изотропным:
Ер = р212т. (9.2)
Энергия Ер отсчитывается здесь от края зоны проводимости; перенос результатов на случай дырочных локальных уровней очевиден*). Заметим, что использование метода эффективной массы в принятом здесь варианте накладывает хорошо известные ограничения на величину энергии ионизации флуктуационных уровней: эта энергия должна быть не слишком велика.
