Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(10.10)
?2 3 я5/2Й3
Введем «эффективную температуру» Т*, представляя правую часть (10.10) в виде, привычном в обычной статистике полупроводников [3]:
Сравнивая равенства (10.11) и (10.10), получаем
Г» 0,3г|^2. (10.12)
Положим для оценки г|;}/2 = 0,05 эВ. Тогда Т* соответствует 160 К и
? « см~’- <10ЛЗ)
Несмотря на ориентировочный характер этой оценки, видно, что концентрация флуктуационных уровней в полупроводниках со случайным полем может оказаться весьма большой. Это обстоятельство, видимо, может служить одной из причин отмечавшейся в гл. I малой чувствительности положения уровня Ферми в ряде неупорядоченных полупроводников к легированию посторонними примесями. Действительно, в рассматриваемых условиях уровень Ферми может быть фиксирован самими флуктуацион-ными уровнями.
Обратимся теперь к двухэлектронным связанным состояниям. При этом мы не будем принимать во внимание возмож-
112 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
ные силы притяжения, рассматривая лишь связанные состояния, возникающие в достаточно глубоких флуктуационных потенциальных ямах несмотря на наличие кулоновского отталкивания. Число таких состояний можно оценить тем же путем, что и Vi, — с одним лишь уточнением. Дело в том, что, рассуждая квазиклассическим путем, мы должны принять специальные меры, дабы отделить истинно двухэлектронные состояния от пар одноэлектронных. Напомним в связи с этим, что, согласно сказанному в § 9, в двухэлектронном состоянии оба электрона находятся, в основном, в одной и той же области с линейными размерами порядка радиуса локализации. С другой стороны, говоря о паре одноэлектронных уровней, мы имеем в виду состояние, в котором электроны локализованы каждый у своего центра, причем расстояние между центрами превышает радиус локализации. Отсюда явствует, что простейший, хотя и грубый, способ выделить двухэлектронные состояния состоит в том, чтобы ограничить область интегрирования по координатам электронов п и Гг, полагая
г = |г, — г21^*0. (10.14)
Здесь х0 — длина порядка радиуса локализации.
Введем следующие обозначения:
Ь=УД|Г1 —r2|)Uo, (10.15)
оо
A [s (eikr> -f е‘кГг)] s= A (s, г) = Ц d\ eivsF (v, г). (10.16)
— оо
Тогда
^\r2B2{r)dr, (10.17)
JC5
(v2) 2m3
й — Зя2й6
о
где
В2(г)— ^ (v — bf F (v, r)dv. (10.18)
В частности, в гауссовом случайном поле
F(yt r) = J3±Z*tU*L+.W]] . (10.19)
2 Уя [ф, + V (r)J
Самые простые результаты получаются, если в функции F(v, г) главную роль играют значения г, малые по сравнению с лго (так обстоит дело, если корреляционная функция Ч;(г) достаточно быстро убывает с увеличением г). При этом
4(s, г)»Л(5, 0) = Л(2$)
§ 11. РАДИУС ЛОКАЛИЗАЦИИ. СТЕПЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ 113
(последнее равенство вытекает из определения А с учетом макроскопической однородности системы). Следовательно, F(v, 0) « '/2 A (v/2). Обозначим через Е0 характерную энергию, фигурирующую в функционале /4(s, 0) (в гауссовом поле Е0 = = v4i)> и положим
к = Ь/2Е0. (10.20)
Тогда, сравнивая выражения (10.9) и (10.17), мы получаем, полагая v = at:
^ (t- I)3 А (Я t) dt
----------------. (10.21)
<vi> 3 .
\ t3,2A (Я t) dt о
В гауссовом поле при слабом отталкивании, когда К <С 1, правая часть (10.21) оказывается пропорциональной
тхЪ тхЪ.Ь,/4
-Лг = о,! ¦ 10.22)
Й2Я3/2 ftV/2
Поскольку h2/mxl— порядка энергии ионизации, величина (10.22) может оказаться и не малой.
С другой стороны, при сильном отталкивании, когда 1, концентрация двухэлектронных уровней, как и следовало ожидать, сравнительно невелика: левая часть (10.22) оказывается заметно меньше единицы.
§ П. Радиус локализации. Степенная локализация
Радиус локализации v_I зависит от энергии ионизации рассматриваемого уровня Е. Вид этой зависимости нетрудно установить для сравнительно глубоких флуктуационных ям. Действительно, здесь (рис. 6) можно выделить область пространства, в которой max| U (г, 0, ф)|<СЯ и, следовательно, волно-
