Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
I <9-21)
— ОО
где
a — i[t/] = (il3v, t/ij3Y). (9.22)
В выражении (9.21) уже можно выполнить формальный предельный переход у/0->-оо. Квантовомеханические средние значения а и b удобно вычислять, подставляя U (г) и i|)Y в виде разложений Фурье типа (7.1). При этом
а= Ukr(k)|i|3Y(k)|2, b[U]=[dkU (к) В (k),
r (9.23)
B(k)=\dk'ryW% (k'-k).
Задача свелась, таким образом, к вычислению интегралов от характеристического функционала Л($В). Это вычисление удобно выполнять по отдельности для случая гауссова поля, поля общего вида (с характеристическим функционалом (7.34')) и лоренцева поля.
а) Гауссово поле. Пользуясь формулой (7.20), мы получаем ИЗ (9.21) (при Vmin < 0)
Qb>j{ 1-erfti,), (9.21')
где
т].= a + jjmIni. (9.24)
& = [i-$dk'F(k)|?(k)|2]1/a, (9.25)
a erf т]! — интеграл ошибок:
$ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
105
Принимая во внимание выражение (9.5) для волновой функции связанного состояния, возьмем пробную функцию фу(к) в виде *)
f8v5W2
Фу (k) = п (v3 + к2)2 • (9.26)
При этом
Е — vmm = — h2y2/2m, a = h2\2/2tn, В = (1 -f k2/4y2)~2 (9.27) и, следовательно,
„ _ й2у1/2/2т + 1 vmitl 1 у~3/2 rQ
г с .-ll/г • (У.ло}
4^dqY(2Y?)(l + <72)-4J
В силу (7.44') знаменатель дроби (9.28) при достаточно малых (но конечных) значениях у пропорционален [Y (к)]1/214=0. Видим, что величина rji, а с ней и вероятность Qb, оказывается конечной.
б) Поле общего вида. Пользуясь формулой (7.34'), мы получаем
оо
i S 7^5 е' (W“) ’~1"' ? С"Н» И. (9.29)
— ОО П 0
где
5 = [1^кФ(к)В(к)В(-к)]'/2, (9.30)
величины а и В по-прежнему даются выражениями (9.23), а
функция F получается из выражения (7.39) заменой z-+s,
/(кн-д(к).
Возьмем функцию фу в прежнем виде (9.26) и ограничимся случаем достаточно малых у, когда функции Ф;(2yqb ..., 2yqi) можно аппроксимировать их значениями_в нуле, Ф;(0, ..., 0). Произведя в (9.29) замену переменных bs = у и принимая во внимание равенства (9.27) и (7.41), мы получим
00
1 (9-2Г)
*) Функция (9.26) может быть не ортогональна к собственным функциям нижележащих дискретных уровней. При доказательстве интересующей нас сейчас теоремы о существовании дискретных уровней это, разумеется, не играет роли, ибо уровень, описываемый функцией фу, можно рассматривать как основной. Действительно, обратное предположение означало бы, что какие-то дискретные уровни заведомо существуют, и дальнейшие рассуждения стали бы беспредметны. Однако попытка вычислять таким путем плотность состояний и общее число дискретных уровней была бы не оправдана.
106 гл. П. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Ряд 5г(г) дается формулой (7.41) при
1 07/2 3/2
C==W z Y у'
В силу (7.41') интеграл в (9.21") сходится. По определению коэффициентов сп он не может превышать 1/2. С другой стороны, будучи функцией многих независимых параметров, он не может и равняться 1/2 тождественно. Отсюда следует, что в условиях (7.41) и (7.41') вероятность Qb оказывается конечной.
в) Лоренцево поле. Заранее очевидно, что в случайных полях такого типа вероятность возникновения достаточно больших флуктуаций потенциальной энергии носителя заряда не меньше, чем в случаях а) и б); соответственно следует ожидать, что и здесь вероятность Qb окажется конечной. И действительно, пользуясь формулами (7.47) и (7.48), мы получаем из (9.21)
со
Яь > 4 + п § К1 ^ sin KVmin — а) S1ds> (9-31)
0
где
* = [$dk|S(k)|2/?(k)]1/2. (9.32)
Интеграл в правой части (9.31) легко вычисляется (см. Приложение VI), и мы получаем (при vmin < 0)
Qb>-\ 1--------. ,,.a±J.v.mlni..==-l > 0. (9.21"')
2 L V(a + I vm | )2 + x2 J
Легко убедиться, что неравенства (9.21') — (9.21"') не связаны со специфическим видом вспомогательного закона дисперсии (9.2). Последний, согласно (9.23), влияет лишь на величину константы а. Иначе говоря, вид закона дисперсии, отвечающего вспомогательной задаче с чисто периодическим полем, может влиять на число дискретных уровней и на их распределение по энергии, но не на сам факт их существования.
