Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
102 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
(на бесконечности). Предельный переход yl0-*-oo мы совершим лишь в дальнейшем, при усреднении по случайному полю, когда это действительно возможно.
Важно заметить также, что условие yl0-*-oo еще не означает перехода к рассмотрению всего образца. Согласно § 2, область с линейными размерами порядка 1о, будучи велика по сравнению с областью локализации электрона, не обязательно должна быть макроскопически велика. Мы будем иметь в виду условие /'oQ_1 < 1. Иначе говоря, в дальнейшем будут выполнены два предельных перехода:
yl0->oot fi/o"3—> оо. (9.15)
Первый из них мы будем называть «предельным переходом в смысле (9.7)». Он нужен для установления однозначной связи между у и v(/0). Второй предельный переход — термодинамический. Он подразумевается при вычислении средних по случайному полю.
Поскольку радиус локализации v_I. очевидно, зависит от энергии ионизации, возрастая с ее уменьшением, указанное выше разграничение первой и второй шкал длины может оказаться несостоятельным, коль скоро речь идет о крайне мелких уровнях, «поджатых» к границе зоны проводимости (или, для дырок, к границе валентной зоны). В задаче, нас сейчас интересующей, это несущественно, ибо между «очень малой» и «слишком большой» энергией ионизации (когда уже нельзя пользоваться методом эффективной массы) имеется достаточно широкий интервал. Однако сам вопрос о зависимости величины у-1 от энергии ионизации заслуживает внимания. Мы вернемся к нему в § 11.
Согласно (9.14) (со знаком равенства) значения у могут быть вещественными, лишь если *)
v (/„) - Е + С/у to > 0. (9.16)
С другой стороны, если какое-нибудь собственное значение уравнения (9.3) удовлетворяет неравенству (9.16), то ему принадлежит собственная функция, локализованная в пространстве. Иначе говоря, такое собственное значение относится к дискретному спектру. При этом, в силу отмеченного выше вырождения по центрам локализации, число дискретных уровней, если они вообще существуют, будет пропорционально объему системы S3. Позднее (§ 10) мы явно убедимся в этом.
Итак, вопрос о вероятности существования дискретных флуктуационных уровней сводится к вопросу о вероятности реализа-
*) В случае центрального поля, обращающегося в нуль на бесконечности, неравенство (9.16) принимает хорошо известный вид: Е ¦< 0.
§ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
/03
ции неравенства (9.16) в данном случайном поле. Эта вероятность Qb дается выражением (сравните с (7.49))
Qb = <0 [v (/0) — Е + С/уЦ), (9.17)
где 0 есть ступенчатая функция.
Вычисление правой части (9.17) затруднено тем, что величина v(/o) представляет собой функционал от U(г), и притом функционал неизвестного вида. Очевидно, однако, что мы лишь уменьшим значение Qb, заменяя v меньшей величиной. В качестве таковой удобно взять наименьшее значение v(/0) для всех возможных конфигураций случайного поля на сфере радиуса 10:
Vmin = min {v (/о)}. (9.18)
(У)
При этом в силу (7.53а) — (7.53в) с подавляющей вероятностью
| Vmin | °°.
Заметим, что в силу (9.15) величина vmin отнюдь не обязана совпадать с абсолютным минимумом v во всем образце: на поверхности сферы радиуса /о «самоусреднение» еще не происходит. Вместе с тем, выполняя усреднение по «области локализации», мы должны считать vmin заданной величиной.
Таким образом,
Qb>{Q[vmin-E + C/yl0]). (9.17')
При этом мы вправе считать, что vmin С 0. В противном случае
правую часть (9.17') можно было бы еще больше упростить,
заменяя там vmm нулем.
Собственное значение Е также, очевидно, представляет собой функционал от U(г). Как известно из квантовой механики,
Е = (Ч>, ГЧ> + ?Л|>), (9.19)
где i|) есть точная собственная функция уравнения (9.3), принадлежащая данному собственному значению Е, а круглые скобки обозначают скалярное произведение:
(i|), fi|) + ?Л|>) = ^ dr 1|з* (г) (Т + U) i|) (г).
Поскольку i|) = вычисление правой части (9.17') с учетом
(9.19) неудобно. Мы можем, однако, мажорировать Е, воспользовавшись вариационным принципом квантовой механики. Согласно последнему правая часть (9.19) может только увеличиться, если заменить там собственную функцию ф произвольной функцией класса Ь2 (нормированной, как и i|), на единицу). Обозначим такую функцию через i|)Y, понимая под у параметр
или совокупность параметров, от которых она может зависеть.
Тогда
?<(%, т% + и%),
(9.20)
Ю4 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
причем знак равенства достигается только при = if. Таким образом,
Qb > (e[vmin + ^ - foY, НУ + Ux|>Y)]) . (9.17")
Поскольку вид функции г|зу может быть навязан a priori, случайная величина U входит в (9.17") только явно. Это позволяет без труда вычислить фигурирующее там среднее значение. Действительно, пользуясь интегральным представлением (7.50'), мы можем переписать соотношение (9.17") в виде
