Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(U ОО и (к")) = б (к' + к") {Ф (к') - Ф2 (к', к")}, (7.42)
откуда
Т (к) = Ф (к) — Ф2 (к, - к). (7.42')
Интегрируя это выражение по к, получаем
¦Ф1 = Ф1 — ф2 (к> — к), (7.42")
где
Ф,= $<гкФ(к). (7.43)
По условию
Ф, < оо, ^с?кФ2(к, — к) < оо. (7.43')
Далее, условие ослабления корреляции на больших расстояниях в сочетании с формулой (7.7) дает
/г2 ^ dQ (к) Т (к) < оо при k-+0. (7.44)
Здесь t?Q(k) есть элемент телесного угла в пространстве «волновых векторов» к. Мы примем несколько более сильное условие,
полагая
*Р (к)----const. (7.44')
v ' *->о v
Это условие действительно выполняется для ряда интересных систем (см., например, (7.36)).
В случае, когда условия ограниченности (7.43') не выполняются, представление (7.34') становится неудобным. Естественно, поля такого типа возникают лишь в результате некоторых идеализаций, при отказе от которых, например, величина ifi заведомо станет ограниченной. Тем не менее иногда использование таких идеализированных случайных полей может оказаться
86 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
удобным. К числу их относится, например, лоренцево поле*), для которого
9 [U] = N [l + J dk ?/* (k) R~l (k) U (k)]_1. (7.45)
Здесь N — нормировочный множитель, R{k) — вещественная положительная функция, удовлетворяющая условию
jj dk R (k) = л, < оо. (7.46)
Характеристический функционал в этом случае легко вычисляется непосредственно (см. Приложение V). Мы имеем
А{г1) = рКЛр), (7.47)
где через Кi обозначена функция Макдональда, а
p = [z2$dk|/(k)|2/?(k)]1/2 (7.48)
(имеется в виду арифметическое значение корня квадратного).
Пользуясь выражениями (7.20), (7.34') и (7.47), легко найти, в частности, вероятность того, что абсолютная величина |?/(г)| будет очень велика. Именно, обозначим через U\ заданную положительную величину (которую в дальнейшем мы будем устремлять к бесконечности). Обозначим через Q] вероятность того, что \LJ(r) | > Ui. По определению понятия вероятности мы имеем
Q, = <0 [ If/(г) |-?/,]), (7.49)
где 0(g) есть ступенчатая функция вещественного аргумента
Г 1. ?> 0, в(|)-{о, ко. <7'6°>
Действительно, выражение <1> (равное единице по условию нормировки (7.13)) можно рассматривать как объем всего пространства функций U. В правой части (7.49) стоит доля этого объема, в которой реализуется интересующее нас неравенство. Для вычисления этой величины удобно воспользоваться интегральным представлением ступенчатой функции:
оо
9®=sr 5 е- + °- <7'ю'>
*) Смысл названия «лоренцево поле» ясен из сравнения правой части (7.45) с обычной формулой Лоренца, описывающей спектральное распределение какой-либо физической величины.
§ 8. СОБСТВЕННОЕ СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ
87
Рассмотрим сначала случай U(г) > 0. Подставляя (7.50') в (7.49), мы получаем
оо
S ехР (~ isUl) (ехР [,s § ^к f/ (к) е1кг]). (7.51)
— оо
Последний сомножитель в подынтегральном выражении в (7.51) есть не что иное, как характеристический функционал (7.8) при z — —s и / = е‘кг. В случае гауссова поля он дается формулой (7.20); при этом для Qi получается, с учетом (7.6) и (7.7),
3‘= 2НГ \ T?Fexp(-/st/>-T^)-
— оо
При U1» V2^i это дает
Qi = ехр(— Щ/211),).
В более общем случае (7.34') мы получаем при (с учетом (7.38) и (7.43))
Qt = ехр (—?/2/2ф,).
Наконец, в случае лоренцева поля подстановка
(7.47) в интеграл (7.51) дает (при Ui » Vri)
Qi=(i + ^rT‘;
параметр г\ здесь дается формулой (7.46).
Пусть теперь U (г) < 0. Тогда для Qi получается прежняя формула (7.51), в которой следует лишь изменить знак в последнем сомножителе: теперь фигурирует характеристический функционал (7.8) при z = +s и I = eikr. Согласно (7.20),
(7.47) и (7.48) в гауссовом и лоренцевом полях при этом получаются прежние результаты (7.53а) и (7.53в). В случае поля общего вида формула (7.34'), вообще говоря, несимметрична относительно замены z-*-—z. Однако при Ui~*~ оо существенную роль в (7.51) играют малые значения s (т. е. z). Соответственно в сумме по п в правой части (7.34') остается лишь слагаемое с п = 0, и для Qi вновь получается выражение (7.536).
Таким образом, во всех трех случаях вероятность того, что случайный потенциал U(г) будет очень велик по модулю, оказывается исчезающе малой.
§ 8. Собственное случайное поле в неупорядоченных полупроводниках
