Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Как указывалось в § 1, роль случайного поля становится сравнительно несущественной в материалах с гомеополярной связью. В частности, так может обстоять дело в «хорошо приготовленных» аморфных германии и кремнии. Рассмотрим поэтому модель случайной сетки атомов с тетраэдрической координацией (§ 1.2). При этом можно воспользоваться одним из вариантов метода сильно связанных электронов. Система описывается следующим гамильтонианом (М. Ф. Торп, Д. Уэйр, 1971):
H=*Vi Z lOj/XOj/'l+Va Z |Ф</ХФ<'/1. (6.1)
I. I, Г
Здесь каждому атому с номером i отвечают четыре базисные функции Фц, второй индекс, /, нумерует четыре связи. Базисные функции ортонормированы, их можно представлять себе как гибридизованные 5/?3-орбитали. Простота модельного гамильтониана (6.1) состоит в том, что в нем учитывается взаимодействие лишь между состояниями, отвечающими разным связям одного и того же атома (член с 7i), и взаимодействие между базисными функциями, относящимися к одной и той же связи, но к разным атомам — ближайшим соседям (член с 72). Несмотря на вариации в относительном расположении и длине
5 6* ПОЛУПРОВОДНИК БЕЗ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
71
связей, матричные элементы Vi и V2 считаются постоянными. При такой записи гамильтониана ничего не говорится о нумерации атомов и связей системы в целом — при сохранении строгого тетраэдрического ближнего порядка система в целом не-упорядочена. Однако отсутствие разброса в матричных элементах V\ и V2 означает пренебрежение флуктуациями потенциальной энергии электрона. Иначе говоря, речь может идти только
о материале без случайного поля. По этой причине не вызывает удивления результат, полученный при рассмотрении энергетического спектра системы с гамильтонианом (6.1): при любом характере связности системы в целом в двузонном энергетическом спектре существует щель Es величины
\Ее\ — 2\ V2\ — 4| Vi\. (6.2)
Это можно доказать следующим образом. Запишем решение уравнения Шредингера (Я — E)ty = 0 в виде разложения по базисным функциям:
¦ф = Z ФцЯц. (6.3)
I. /
Зафиксируем какой-либо индекс i и будем рассматривать величины ац как компоненты вектора-столбца u(i), строки которого отвечают различным связям /= 1, 2, 3, 4. Тогда коэффициенты а. ,, отвечающие тем же связям, но четырем соседним
I > /
атомам с номерами i', можно считать компонентами другого вектора v(i). С помощью этих векторов уравнение Шредингера записывается как
Ми (i) = - V2v (г). (6.4)
Здесь
/-Е V, V: V,\
М=[ Уу\ ~у> -Е v\\ <6-Б>
' Vl Vi Vt -Е /
Матрице М отвечают невырожденное собственное значение Xj = = —Е + 3Vi и трехкратно вырожденное собственное значение l2 = —E—Vu
Предположим, что ни одно из Хт (т = 1,2) не превышает по модулю \V2\:
max|Am|<| V2\. (6.6)
Тогда, обозначив через ||и||, ||ы|| нормы векторов, с учетом
(6.4) имеем для каждого i
- I V2 i II ^ II > {max | |} [| ы || (6.7)
' II V II < XII и ||. (6.8)
Здесь 0 < л: < 1.
72 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Покажем теперь, что сделанное предположение приводит к невозможности нормировать волновую функцию. Определим величину
А/ (0 = I У/ (О I2 — I и, (0 р. (6.9)
Просуммируем А/(г) по всем атомам кластера, содержащего
91 атомов. Согласно (6.8) мы имеем
О > (х2 — 1) Е || и (0 ||2 > ? Л/ (г). (6.10)
t i, /
Однако величины А/(г) попарно взаимно уничтожаются для каждой связи внутри кластера. Отсюда вытекает результат
?М0= X МО- (6.11)
Li
Следовательно,
/
по поверхн.
ZM0
< S ||м(0И2(1+*2). (6.12)
i по поверхн.
Суммирование в правых частях (6.11) и (6.12) ведется по номерам граничных атомов, имеющих по крайней мере одну разорванную связь. Будем теперь поэтапно наращивать число атомов в кластере таким образом, чтобы все разорванные на некотором этапе связи оказались внутренними на следующем. Определим нормировочную функцию:
1 X! II и (0 IF- (6-13)
i
Тогда полученные выше неравенства дают
(6.14)
*^л ЭДя+i 2х2
При добавлении новых слоев к кластеру отношение Sln/SHn+i стремится к единице при достаточно больших п. Действительно, разность между величинами и 9ln+i возрастает с п как объем слоя единичной толщины, т. е. как п2, тогда как сами эти величины растут как п3. Поэтому левая часть в (6.14) оказывается ограниченной снизу, ибо 0 <С х <С 1. Отсюда вытекает, что рассматриваемое состояние невозможно нормировать, - и условие (6.6) определяет область энергий, в которой плотность состояний равна нулю. Аналогично доказывается, что неравенство
