Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
в увеличении затухания фононов с данным квазиволновым век* тором и в возможном появлении локальных и квазилокальных колебаний (естественно, не характеризуемых никаким квазиволновым вектором)*). Частоты локальных колебаний лежат выше «кристаллических» ветвей. При малой концентрации примеси эти частоты образуют дискретную совокупность. При увеличении степени беспорядка здесь, по-видимому, возможно образование участков всюду плотного спектра (И. М. Лифшиц, 1964).
Представление о плотности состояний, использованное выше для описания энергетического спектра электронов и дырок, можно ввести и для фононов. Именно, в условиях термодинамического равновесия концентрация фононов данной ветви (нумеруемой индексом v) дается выражением
где D[~\{со) — фурье-образ запаздывающей фононной функции Грина.
Как и в случае электронных состояний, дискретным частотам атомных колебаний отвечают дельтообразные особенности Pph(co); в участках всюду плотного спектра можно заменить в _(4.1) сингулярную функцию pph(w) сглаженным выражением Pph(co), представляющим собой огибающую дельтообразных пиков.
Ко второму типу относятся жидкие, аморфные и стеклообразные материалы. Совокупность атомов в них мы будем называть матрицей. В этом случае тепловое движение атомов при не слишком высоких температурах также можно рассматривать в основном как малые колебания около положений равновесия; в отличие от кристаллов, однако, сами эти положения равновесия могут (сравнительно редко) изменяться со временем **).
Как известно из механики, в гармоническом приближении представление о независимых друг от друга нормальных колебаниях можно ввести для любой системы колеблющихся частиц. Таким образом, представление о фононах остается в силе и здесь. Однако, поскольку положения равновесия атомов матрицы не образуют кристаллическую решетку, в данном случае нельзя характеризовать нормальные колебания с помощью ква-
*) Обзор современного состояния теории локальных и квазилокальных колебаний можно найти в книге [24].
**) Подробное рассмотрение теплового движения в жидкостях можно найти в книге [25].
P„h. v(“) da
(4.1)
JVph’ v J exp (ha/T) - 1 •
Здесь pph.v (со) есть плотность фононных состояний:
Pph. v H = - 2 (Sp Im ?><:> (со)),
(4.2)
s 4. СПЕКТР ФОНОНОВ (КАЧЕСТВЕННЫЕ СООБРАЖЕНИЯ)
63
зиволнового вектора. С другой стороны, представление о плотности фононных состояний (вместе с формулами (4.1) и (4.2)) сохраняет точный смысл и здесь.
Полное описание спектра фононов в рассматриваемых системах, включая и расчет функции pPh(co), составляет весьма сложную задачу. Некоторые выводы, однако, можно сделать без каких-либо предположений модельного характера.'
Во-первых, обычные звуковые волны распространяются и в неупорядоченных средах. Это означает, что при достаточно больших длинах волн затухание их оказывается сравнительно небольшим. Коль скоро длина волны значительно превышает среднее межатомное расстояние в матрице, мы вправе рассматривать последнюю как непрерывную среду, характеризуя ее феноменологическими коэффициентами упругости и вязкости. Это приближение называется гидродинамическим. Из механики сплошных сред известно, что в указанных условиях коэффициент затухания звука пропорционален квадрату его частоты, что и оправдывает сделанное выше утверждение.
Таким образом, в применении к рассматриваемым материалам остается в силе представление о длинноволновых акустических фононах, характеризуемых, однако, не квазиволновым, а просто волновым вектором к. Последний линейно связан с частотой со. В дальнейшем мы будем пользоваться простейшим
законом дисперсии для таких фононов, полагая
СО ac = 6s, (4.3)
где s — скорость звука. Соответствующая плотность состояний имеет обычный вид:
и2 ,. ..
Pph, ас' 2jt2s3 ‘ (4.4)
Во-вторых, экспериментально установленный факт сохранения ближнего порядка в интересующих нас материалах наводит на мысль о возможности сохранить и представление о длинноволновых оптических колебаниях атомов матрицы. Эти колебания в известной мере аналогичны наблюдаемым в кристаллах, причем роль «элементарной ячейки» играет, например, совокупность атомов в первой координационной сфере (включая и центральный атом). Тепловое движение приводит, в частности, к малым изменениям относительного расположения атомов в пределах каждой из указанных «структурных единиц»; благодаря межатомному взаимодействию эти деформации неизбежно должны распространяться по всей матрице. Следует ожидать, что, коль скоро деформации в соседних структурных единицах примерно одинаковы, затухание соответствующих колебаний в системе с короткодействующими силами окажется не слишком большим. Соответственно могут распространяться волны дефор-
64
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
