Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
электрон, находившийся в начальный момент времени (при
t — 0) в точке х — 0, окажется там же и в момент ^ > 0. По определению запаздывающей (не антикоммутаторной) функции Грина Gr(x, х'; t) (еще не усредненной по случайному полю) мы имеем _
а0(0 —-К?г(0, 0; 0. (3.1)
Полагая
оо
Gr(0, 0; 0= \ dEe~iEtGr(E), (8.2)
— оо
находим
оо оо
/(0=*|ао(ОР= 5 dv 5 dEGr(E + v/2)G*r(E-v/2)e-M. (3.3)
*) Условие Т -+¦ 0 существенно. Действительно, в противном случае заведомо отлична от нуля (хотя, может быть, и невелика) вероятность того, что в результате тепловой активации электрон удалится от данного центра на сколь угодно большое расстояние. Этот эффект, очевидно, не имеет отношения к рассматриваемой нами задаче о локализации.
58 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Замечая, что G'r (?) = Ga (?*) [14], и принимая во внимание, что
функции G,{E) и Ga(E) аналитичны, соответственно, в верхней
и нижней полуплоскостях, видим, что функцию
оо
F (v) = J dE Gr (Е + v/2) Ga (Е - v/2) (3.4)
— оо
можно аналитически продолжить в верхнюю полуплоскость переменной V.
Нас интересует величина
/=Пш </(/)), (3.5)
?->оо
где угловые скобки обозначают усреднение по случайному полю. Согласно (3.3) и (3.4)
оо
(FW) = -k\<JV))eMdt. (3.6)
о
Полагая v = ip — т — 2е (где ее Re), получим в правой части (3.6) стандартный интеграл лапласовского типа. Как известно [22], при этом справедливо следующее соотношение (при условии, что указанные ниже пределы существуют):
Нш </(/)}= limp<F(p)>. t->°° р->0
В силу (3.5) и (3.4) это дает +°°
/= ^ dE lime {Gr (Е -f ге) Ga (Е —- /е)). (3.7)
J Е-»0
— ОО
Андерсоновская локализация имеет место, если / Ф 0. В такой форме, однако, критерий локализации недостаточно содержателен, ибо в правой части (3.7) фигурирует интеграл по всем энергиям электрона Е. Желая выяснить, локализованы ли состояния с данной энергией Е, мы должны изучить поведение подынтегрального выражения в (3.7) (Э. Н. Эконому, М. X. Коэн, 1970; К. Ф. Фрид, 1972)*):
f (Е) = lim е (Gr (Е + 1в)Ъа (Е - /е)>. (3.7')
е->0
Заметим, что в выражения (3.7), (3.7') входит среднее значение от произведения двух функций Грина. Выражение (3.7) удобно
*) В работе Фрида вместо Ог и Ga использовалась причинная функция Грина, что представляется нам менее удобным.
§ 3. АНДЕРСОНОВСКАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
59
переписать в несколько ином виде, воспользовавшись известным соотношением
Gr а (Я, Е) = Gr а (Я, Е) [I - пр (Я)]. (3.8)
Здесь uf(X) == nF(Et) есть функция Ферми.
В интересующем- нас случае предельно низких температур множитель 1—nF ограничивает суммирование по энергии Ех областью E>F, где F — уровень Ферми. Пользуясь соотношениями (3.8) и (1.6.9), получаем вместо (3.7)
(0) f I **(0) Г ¦ ы)
где 0 — ступенчатая функция, а функции гр*, и берутся при х = х' — 0. Волновые функции непрерывного спектра нормированы на 1 в объеме Й. Следовательно, | (0) |21 ^r(0) |2'~Q_2> и
при Q—>• оо правая часть (3.7") стремится к нулю независимо оте: локализация не имеет места. С другой стороны, в области дискретного спектра функция ^(х), как и вся правая часть (3.7"), асимптотически при Q-> оо не зависит от объема. Видно, что при сколь угодно большом, но конечном значении Й слагаемые с Ек,фЕх не дают вклада в правую часть (3.7"). С другой стороны, при ЕХ, = ЕХ мы получаем
f=i(ZrZl4..wf)V-
\ЕХ> F\R. сг / /
В этом случае локализация имеет место.
Другой критерий локализации можно получить, рассматривая макроскопически однородный неупорядоченный полупроводник как систему, вырожденную по Н. Н. Боголюбову [23]. Для того чтобы выяснить, имеются ли локализованные состояния, надо снять вырождение по центрам локализации. Для этой цели надо ввести в гамильтониан системы Я бесконечно малое локальное возмущение, полагая
H = HQ + x\V (х — Хо). (3.9)
Здесь Но — гамильтониан рассматриваемой физической системы со случайным полем, г|— сколь угодно малая величина, х0 — произвольная фиксированная точка, а V — функция, локализованная вблизи нуля своего аргумента; явный вид ее не играет роли. В дальнейшем мы положим для удобства х0 = О,
V (х) = 6 (х). (3.10)