Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Из физических соображений следует, что корреляционная функция Чг(г) должна обращаться в нуль при r-^оо. Действительно, корреляция между случайными величинами ?/(п) и U(г2) должна ослабевать при раздвижении точек г, и г2 (это есть проявление весьма общего принципа ослабления корреляции (Н. Н. Боголюбов, I960)). Соответствующую характерную длину (радиус корреляции) мы обозначим через |0-
Функции Тп удобно выразить через характеристический функционал *)
Здесь z — комплексное число, возможный знак мнимой части которого определяется условием сходимости получающихся в дальнейшем интегралов, /(к) = /* (—к) — произвольная функция.
Действительно, варьируя п раз функционал A (zl) по /(к), мы получаем
определяет связь рассматриваемых вариационных производных с функциями (7.5):
Условие макроскопической однородности системы накладывает определенные ограничения на свойства функциональных
? (г) = J dk efkMF (k).
(7.7)
А (zl) — ^ехр | — iz ^ dk U (k) I (k) . (7.8)
6nA (zl)
= (— iz)n (U (k,) ... U (k„)>, (7.9)
6/(k,)...6/(kn) /=o
что в сочетании с формулой
U(r)= Jdkeikrt/(k)
(7.Ю).
(—/агГЧ'Лгь ..r„) =
= ^ dk\ ... dkn exp I i k/ry
*) Функционал A(zl) удобен и для непосредственного вычисления многих средних значений.
76
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
производных от А по 1 при 1 = 0. Действительно, поскольку может зависеть лишь от разностей аргументов гь г„, выражение под знаком интеграла в правой части (7.11) должно содержать множитель б(ki -f- ••• +k„).
Укажем два типа случайных полей, статистические характеристики которых легко вычисляются в явном виде. К первому типу относятся поля, в которых существенные флуктуации потенциальной энергии носителя заряда возникают при сложении большого числа случайных независимых ограниченных слагаемых с конечной дисперсией, причем дисперсия их суммы неограниченно возрастает при устремлении числа слагаемых к бесконечности. При этом для величин и\ справедливо многомерное распределение Гаусса
?Р[и] = N ехр | — Y ^ OkMkM-k j,, (7.12)
где at = О-к — вещественные положительные коэффициенты, N — нормировочная постоянная, определяющаяся из условия
<1>=1. (7.13)
Такие поля мы будем называть гауссовыми.
Гауссово поле возникает, например, при взаимодействии носителей заряда с низкочастотными фононами, удовлетворяющими условиям (1.1.4) (Е. В. Бурцев, 1972). Действительно, согласно сказанному в § 1.1, энергию этого взаимодействия можно рассматривать как потенциальную энергию электрона в классическом случайном поле (1.1.6) (при at-*-0). Последнее выражение удовлетворяет условиям известной теоремы Н. Н. Боголюбова [27], чем и доказывается сделанное выше утверждение. Легко вычислить бинарную корреляционную функцию для этого поля. С учетом (7.4) мы имеем
^2 (г — r') = Y^]c2cos(q, г — г'). (7.14)
а
Поскольку область суммирования по q по условию ограничена лишь длинными волнами, правая часть (7.14) есть плавная функция разности г — г': все ее производные ограничены. В дальнейшем (§ 8) мы увидим, что существуют и другие случайные поля, обладающие таким же свойством.
Ко второму типу относятся поля, в которых потенциальная энергия носителя заряда дается суммой вкладов от отдельных центров, расположенных в случайных точках R, (г = 1, ..., М, где N — полное число центров); при этом корреляция между
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
77
координатами различных центров отсутствует*). В указанных
условиях вероятность обнаружить центр i в элементе объема
dRi около точки R( есть
d&( R,) = -^-, (7.15)
а вероятность данной (Ri, .... R„) конфигурации всех центров дается выражением
jv
Ri.....^) = П^- <7-15')
i=i
С такими полями приходится иметь дело в астрономии — при вычислении случайной силы, действующей на данную звезду со стороны множества других хаотически движущихся звезд [28], в физике легированных полупроводников, когда роль «центров» исполняют атомы или ионы примеси, и в ряде других задач. Поля такого типа мы будем называть пуассоновскими — по причинам, ясным из теории вероятностей. Как известно (в дальнейшем это будет явно показано), при определенных условиях пуассоновское поле переходит в гауссово. Так обстоит дело, если флуктуации концентрации примесных атомов в должном смысле малы (см. ниже, (7.32), (7.33)).
Рассмотрим сначала гауссово поле.
Тот факт, что под знаком экспоненты в (7.12) стоит простая (а не двойная) сумма, связан с макроскопической однородностью системы. Действительно, в силу соотношения типа (7.1') для U