Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бонч-Бруевич В.Л. -> "Метод функций Грина в статической механике" -> 34

Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.

Бонч-Бруевич В.Л. , Тябликов С.В. Метод функций Грина в статической механике — М.: ФИЗМАЛИТ, 1961. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): metodfunxgrinavstaticheskoymehanika1961.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 162 >> Следующая


Из физических соображений следует, что корреляционная функция Чг(г) должна обращаться в нуль при r-^оо. Действительно, корреляция между случайными величинами ?/(п) и U(г2) должна ослабевать при раздвижении точек г, и г2 (это есть проявление весьма общего принципа ослабления корреляции (Н. Н. Боголюбов, I960)). Соответствующую характерную длину (радиус корреляции) мы обозначим через |0-

Функции Тп удобно выразить через характеристический функционал *)

Здесь z — комплексное число, возможный знак мнимой части которого определяется условием сходимости получающихся в дальнейшем интегралов, /(к) = /* (—к) — произвольная функция.

Действительно, варьируя п раз функционал A (zl) по /(к), мы получаем

определяет связь рассматриваемых вариационных производных с функциями (7.5):

Условие макроскопической однородности системы накладывает определенные ограничения на свойства функциональных

? (г) = J dk efkMF (k).

(7.7)

А (zl) — ^ехр | — iz ^ dk U (k) I (k) . (7.8)

6nA (zl)

= (— iz)n (U (k,) ... U (k„)>, (7.9)

6/(k,)...6/(kn) /=o

что в сочетании с формулой

U(r)= Jdkeikrt/(k)

(7.Ю).

(—/агГЧ'Лгь ..r„) =

= ^ dk\ ... dkn exp I i k/ry

*) Функционал A(zl) удобен и для непосредственного вычисления многих средних значений.
76

ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА

производных от А по 1 при 1 = 0. Действительно, поскольку может зависеть лишь от разностей аргументов гь г„, выражение под знаком интеграла в правой части (7.11) должно содержать множитель б(ki -f- ••• +k„).

Укажем два типа случайных полей, статистические характеристики которых легко вычисляются в явном виде. К первому типу относятся поля, в которых существенные флуктуации потенциальной энергии носителя заряда возникают при сложении большого числа случайных независимых ограниченных слагаемых с конечной дисперсией, причем дисперсия их суммы неограниченно возрастает при устремлении числа слагаемых к бесконечности. При этом для величин и\ справедливо многомерное распределение Гаусса

?Р[и] = N ехр | — Y ^ OkMkM-k j,, (7.12)

где at = О-к — вещественные положительные коэффициенты, N — нормировочная постоянная, определяющаяся из условия

<1>=1. (7.13)

Такие поля мы будем называть гауссовыми.

Гауссово поле возникает, например, при взаимодействии носителей заряда с низкочастотными фононами, удовлетворяющими условиям (1.1.4) (Е. В. Бурцев, 1972). Действительно, согласно сказанному в § 1.1, энергию этого взаимодействия можно рассматривать как потенциальную энергию электрона в классическом случайном поле (1.1.6) (при at-*-0). Последнее выражение удовлетворяет условиям известной теоремы Н. Н. Боголюбова [27], чем и доказывается сделанное выше утверждение. Легко вычислить бинарную корреляционную функцию для этого поля. С учетом (7.4) мы имеем

^2 (г — r') = Y^]c2cos(q, г — г'). (7.14)

а

Поскольку область суммирования по q по условию ограничена лишь длинными волнами, правая часть (7.14) есть плавная функция разности г — г': все ее производные ограничены. В дальнейшем (§ 8) мы увидим, что существуют и другие случайные поля, обладающие таким же свойством.

Ко второму типу относятся поля, в которых потенциальная энергия носителя заряда дается суммой вкладов от отдельных центров, расположенных в случайных точках R, (г = 1, ..., М, где N — полное число центров); при этом корреляция между
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ

77

координатами различных центров отсутствует*). В указанных

условиях вероятность обнаружить центр i в элементе объема

dRi около точки R( есть

d&( R,) = -^-, (7.15)

а вероятность данной (Ri, .... R„) конфигурации всех центров дается выражением

jv

Ri.....^) = П^- <7-15')

i=i

С такими полями приходится иметь дело в астрономии — при вычислении случайной силы, действующей на данную звезду со стороны множества других хаотически движущихся звезд [28], в физике легированных полупроводников, когда роль «центров» исполняют атомы или ионы примеси, и в ряде других задач. Поля такого типа мы будем называть пуассоновскими — по причинам, ясным из теории вероятностей. Как известно (в дальнейшем это будет явно показано), при определенных условиях пуассоновское поле переходит в гауссово. Так обстоит дело, если флуктуации концентрации примесных атомов в должном смысле малы (см. ниже, (7.32), (7.33)).

Рассмотрим сначала гауссово поле.

Тот факт, что под знаком экспоненты в (7.12) стоит простая (а не двойная) сумма, связан с макроскопической однородностью системы. Действительно, в силу соотношения типа (7.1') для U
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed