Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Это есть не что иное, как характеристический функционал гаус-
сова поля (7.20), причем
^(к) = (2я)3Епа|Ка(к)|2. (7.35)
а
Справедливость последней формулы легко проверить непосредственным вычислением (см. Приложение IV). Таким образом, пуассоновское поле сводится к гауссову, коль скоро оправдана аппроксимация (7.33). В разных задачах количественная формулировка этого условия оказывается различной — в зависимости от того, какие именно значения переменной z играют главную роль при вычислении той или иной величины.
Отметим три интересных частных случая пуассоновского поля.
« 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО' ПОЛЯ
83
а) Поле хаотически распределенных по образцу заряженных точечных центров (например, атомов примеси). В этом случае мы получаем согласно (7.35) и (7.31)
2 е4л!
У(к)= 2,,*. (7-36)
яе (fc + г0 )
где п] — эффективная концентрация примеси (П. IV. 5).
Согласно (7.7) и (7.36) в координатном пространстве мы имеем
~ * 4
2зтп 6
У (г) = J Го ехр (— г/г0). (7.37а)
Роль корреляционной длины go здесь играет радиус экранирования Го.
б) Поле диполей, хаотически распределенных по образцу.
Плечи этих полей d могут быть и различными; поэтому надо
говорить о диполях разных типов, нумеруя их индексом а. Под Na и Va в формуле (7.23) следует понимать теперь число диполей данного типа и потенциальную энергию электрона в поле отдельного экранированного диполя:
Fdlp (г) = Jlехр - e|r + dg| ехр (- •
Соответствующий фурье-образ есть
Fdlp(k) =
е2 1 — е ikd
Поскольку Fdip(k) = 0 при к = 0, условие (7.25) в этом случае удовлетворяется автоматически, чего и следовало ожидать — система нейтральна.
Для бинарной корреляционной функции мы получаем здесь
Ч- (г, _ ехр (-i) J] ± [ехр (? - +
а
+exp(t-i^r!i)]}- <7-37б>
в) Поле упругих деформаций, возникающих в неоднородном твердом растворе в силу флуктуаций состава, коль скоро эти флуктуации малы: средняя атомная доля примеси в каждом
узле должна быть мала по сравнению с единицей. Согласно
Пр иложению II, соответствующую бинарную корреляционную функцию можно аппроксимировать выражением
? (г — г') = Ф0б (г — г'), (7.37в)
84 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
где Ф0 — постоянная. В растворах с одним атомом в элементарной ячейке Фо дается формулой (П. 11.15), в которой следует пренебречь атомной долей с по сравнению с единицей. Величину if>i в случае (7.37в) надо определять по формуле (П. II. 15').
Представление о характеристическом функционале удобно использовать для феноменологического описания случайных полей, для которых явный вид функционала $P[U] может быть неизвестен.
Рассмотрим прежде всего поля с конечным значением среднего квадрата, ifi, и других аналогичных величин (см. ниже формулу (7.43)). В отличие от гауссова, будем называть их полями общего вида. В этом случае удобно представить характеристический функционал в виде
A (z/) = exp { - Jrfk | / (k) I2 Ф (k)} ? cnHn [F (zl)]. (7.34')
n> 0
Здесь Ф(к)—функция того же класса, что и Т (к) (вещественная, положительная и интегрируемая), Нп—полиномы Эрмита, сп — коэффициенты, удовлетворяющие условиям
Ш спНп(0) = 1, C2msRe, Счт+\е 1ш, (7.38)
п> о
= ••• + k*)x
/> 2
ХФ/(к„ ..., к,)/(кО ... /(к,), (7.39)
Ф; — некоторые достаточно регулярные ядра.
Точный смысл последнего выражения состоит в следующем. Пусть
Ф, (0, ..., 0) < оо, h = Ф, (0, ..., 0) Ф"//2 (0) Г3 < с», (7.40)
а с — некоторая постоянная. Мы будем считать, что ряды*)
s> Z тгs*(z) = ЕCkH*(cSi)> =?CkH* t77 (у-41)
/>2 k>0 к
сходятся при всех конечных значениях вещественного аргумента г, причем так, что интеграл
оо
/= | ^-e-*!S2(z)<°o, (7.410
*) В дальнейшем (§ 9) возникают выражения именно такого типа.
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
85
а 5з(г) возрастает при z-»-oо не быстрее, чем экспоненциально. Условия (7.40), (7.41) заведомо выполняются для достаточно гладких случайных полей.
Наличие б-функций в членах ряда (7.39) имеет ясный физический смысл: это есть не что иное, как отражение свойства макроскопической однородности системы. По той же причине в ряде (7.39) отсутствуют слагаемые с 1 — 0, 1.
Легко связать друг с другом функции Т, Ф и Ф/. Так, формулы (7.9), (7.34') и (7.39) дают
