Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
min| Am | > | V2\ (6.15)
также определяет запрещенную область энергий. Совокупность условий (6.6) и (6.15) и дает приведенную в (6.2) величину щели Еа.
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
73
Неизбежным следствием данной модели оказывается наличие двух дельтообразных пиков плотности состояний, располагающихся у краев зон. Последнее затрудняет сопоставление получаемой в этой модели плотности состояний с результатами других расчетов для аморфных структур.
§ 7. Статистические характеристики случайного поля
Физические соображения позволяют ограничить класс функций V(r), на котором функционал &[]/] отличен от нуля. Действительно, естественно ожидать, например, что потенциальная энергия носителя заряда будет непрерывной функцией координат (за исключением, может быть, отдельных точек), окажется — хотя бы в среднем — ограниченной по величине и т. д. Мы будем предполагать возможность разложения Фурье
l/(r)= J dkV(k)eik', (7.1)
причем случайные коэффициенты Фурье У (к) могут быть как
обычными, так и обобщенными функциями. В силу веществен-
ности потенциальной энергии У (г) мы имеем У(к)=У*(—к).
Иногда удобно пользоваться разложением не в интеграл, а в ряд Фурье. Для этой цели надо рассматривать систему большого, но конечного объема Q, накладывая условия периодичности на его границах.
Тогда вместо (7.1) получим
У(г) = ?Г1/2ХЛк, Ук=У*_к. (7.10
к
В пределе при Я->оо мы имеем
Yj (• ••)"*¦ Тгяр" к
Здесь точками обозначено суммируемое выражение, асимптотически при ?2 —оо не зависящее от объема Q. Следовательно,
<7-2>
В соответствии со сказанным в § 1.4, представим потенциальную энергию V в виде суммы систематического Vs и случайного V, слагаемых *):
V=Vs+Vr. (7.3)
*) В силу линейного характера соотношения (7.1) аргументы функций V, Vs и Vr можно не указывать. Заметим, что слагаемое Vs не обязательно периодично.
74
ГЛ. 11. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Разбиение такого типа, разумеется, неоднозначно. Мы можем воспользоваться этим обстоятельством, включив среднее Значение Vr в систематическую часть Vs. Именно, положим
Vr = (Vr) + U, (U) = 0, (7.4)
и включим <Vr> в систематическое слагаемое Vs.
Вообще говоря, величина <Vr> может и сама зависеть от координат. Мы ограничимся изучением макроскопически однородных систем, в которых такая зависимость отсутствует. В сущности, это есть часть определения: система со случайным полем называется макроскопически однородной, если все средние значения типа (V^n) ... V (г;)> (/=1,2,...) зависят лишь от / — 1 разностей п — п, г2 — г;, . . . *).
Физический смысл этого определения очевиден: все точки макроскопически однородной системы статистически равноправны. Примером такой системы может служить кристалл с постоянной в пространстве средней концентрацией примеси.
Если потенциальная энергия носителя заряда в случайном поле не зависит от типа носителя, то величину <V,) можно положить равной нулю: это сводится лишь к определенному выбору начала отсчета энергии. При взаимодействии типа потенциала деформации значения Vr для электронов и дырок, вообще говоря, различны; при этом слагаемое <Vr>, будучи включено в Vs, приводит к перенормировке ширины запрещенной зоны. Последний эффект может проявиться, например, при между-зонном поглощении света (гл. V). В обоих случаях, однако, мы приходим к задаче о статистических характеристиках поля U с нулевым средним значением. Величину теперь надо рассматривать как функционал от U; соответственно мы будем иметь дело со случайными коэффициентами Фурье и к и U( к), связанными с U {г) и друг с другом соотношениями вида (7.1), (7.Г) и (7.2).
Статистические свойства поля U(г) удобно характеризовать с помощью корреляционных функций **)
Wn (г ь ..., г „) = <?/ (г,) ...U (г„)>, п > 2. (7.5)
Действительно, все измеряемые на опыте величины, зависящие от U, выражаются через функции (7.5). Так, например, средний квадрат флуктуации потенциальной энергии носителя заряда % дается формулой
'^1 = (?/2 (г» = 4^2 (г, г') \г,_г. (7.6)
*) Это определение эквивалентно принятому в книге [13], но более наглядно.
**) В дальнейшем мы будем чаще всего пользоваться бинарной корреляционной функцией ’F2. Б тех случаях, когда это не может повести к недоразумению, индекс 2 будет для краткости опускаться.
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
76
В макроскопически однородной системе величина \|>i есть константа, а функции Ч'-,, зависят только от разностей п — г„, Г2—гп, ¦ ¦. В частности, бинарная корреляционная функция Тг s= зависит только от п—г2 = г. По этой причине может оказаться удобным представление Фурье:
