Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
80
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Во-вторых, система в целом остается нейтральной. Это означает, что, наряду с взаимодействием носителя заряда с примесными центрами, надо принимать во внимание и взаимодействие его с размазанным зарядом («фоном») всех остальных электронов и дырок. Условие нейтральности при этом можно выразить в виде [13]
\акупош№ = 0, (7.25)
где Уполн — полная потенциальная энергия носителя заряда. Поскольку взаимодействие рассматриваемого носителя заряда с «фоном» проявляется только в условии нейтральности, мы можем в дальнейшем явно его не рассматривать, условно заменяя равенство (7.25) более удобной формулой
«JdrF(r) = 0». (7.25')
Подчеркнем, что фактически обращается в нуль интеграл (7.25), а не (7.25') (почему последняя формула и заключена в кавычки). Проще, однако, пользоваться символическим «равенством»
(7.25'), чем помнить, что к выражениям, линейным по V, надо добавлять еще энергию взаимодействия носителя заряда с компенсирующим фоном. Заметим также, что в случае полной компенсации, когда суммарный заряд одних лишь атомов примеси равен нулю, равенство (7.25') приобретает уже не символический, а точный смысл.
Очевидно, при этом условие (7.25/) означает, что
<F(r)> = 0. (7.25")
Действительно, случайный характер функции У (г) связан с хаотическим распределением центров в пространстве. Следовательно, «усреднение по случайному полю» сводится здесь к усреднению по всем возможным конфигурациям примеси. В силу (7.23) мы имеем
w=z $ «/‘Mr - r<> Ш 1г-
а /=¦ 1 1Ф1
Заметим, что для примесей разного типа величины Va имеют разные знаки. Для примеси данного типа все интегралы от Va здесь одинаковы, и, следовательно,
00=5>“ $dRV«(R). (7.26)
а
Здесь введена новая переменная интегрирования R == г — R/. Будучи умножена на й, правая часть (7.26) превращается в ле-
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ 81
вую часть (7.25'). Таким образом, мы вправе отождествить правую часть (7.23) с полем U(г).
Вместо функционала 9>\U\ здесь удобнее говорить о функции распределения 0>(U), определяющей вероятность данной флуктуации потенциальной энергии:
N С
^)=П№бр-Е^(г-к/>1- <7-27)
1 = 1 L a, I J
Для вычисления интеграла в правой части представим 6-функцию в виде обычного разложения Фурье; тогда
00
&(U) = ±\ fifce^n/Ms), (7.27')
— оо а
где
We~,sVa<RTa- (7-28)
Дальнейшая выкладка совершенно аналогична выводу распределения Хольцмарка в астрономии [28]. Заметим, прежде всего, что, поскольку потенциал Ka(R) убывает с увеличением R, интеграл в квадратных скобках в (7.28) пропорционален объему. По этой причине удобно переписать равенство (7.28) в виде
. Fa (s) = { S тг i[е~1V*'(R) - i] + 1 • (7.280
Далее, нас интересует предельный случай, когда величины Q,
N и Na неограниченно возрастают, причем
lim -7г = яа<°°. (7.29)
N ->00 “
ii->oo
Выполняя указанный предельный переход в формуле (7.28'), получаем
Fa(s) = exp{«a j]}. (7.28")
Соответственно
00
9 № = i S ds ехР fisU + Е Па S dR te~‘SVa<R) - !]) • (7-27">
-ОО С a )
Таким же способом можно вычислить и характеристический функционал A (zl) . Выполняя над равенством (7.23)
82 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
преобразование Фурье, мы получаем
"а
U(k) = Zl,Va(k)e-i'‘*i, (7.30)
а /-1
где Va(k) есть фурье-образ функции Уа(Я); в частном случае (¦7.24)
Va (к)== 2п2е(5+г0-2)' (7,31)
Согласно (7.8), (7.15') и (7.30) в рассматриваемом случае А (zl) — Q~N J| jj dRj ехр | — iz jj dk Va (к) / (к) е~1Ш! |,
а. 1
откуда
A (2/)=exp|^]rtajjdR|exp(— iz^dk Va{k)I (k)e~'kR) — 1 ]j (7.32)
Если интересующие нас значения z достаточно малы, то выражение в квадратных скобках в (7.32) можно представить в виде
-/z^kKa(k)/(k)e-ikR-
- J dk dk'Va (k) Va (k') / (k) / (kO (k+r, R)_ (7 33)
Интеграл no R от первого слагаемого (с учетом (7.25') и (7.26)) дает нуль после суммирования по а; соответственно
A (zf) » ехр | - 4 (2я)3 ? п° \ dk I М 1211 (k) I2 J • <7-34)
