Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
f (г) = j x2v2 (х) S (х) sin (рх) с/х, (8.14")
о
где р = 2kFr.
В формулах (8.14) — (8.14") уже выполнен предельный переход от суммирования к интегрированию по компонентам q. При этом можно не заботиться об исключении конечного (в крайнем случае счетного) числа слагаемых с q = b„, ибо функция S(q) гладкая *).
Формулы (8.12) — (8.14) легко обобщаются на случай соединения. Пусть индексы а, а' нумеруют типы атомов (или ионов). Тогда вместо одной корреляционной функции w появляется набор waa,{г) и, соответственно, вместо S(q) мы имеем дело с функциями
Saar (q) = Ьаа' + (^а 'К'У* $ dT [waa' (г) - 1]^. (8.15)
Здесь Qa1 есть средняя концентрация атомов данного типа, а &аа— символ Кронекера.
При q -* оо мы имеем Saa' -*¦ &ааг', далее (в термодинамически равновесной системе),
lim Saa’ (q) = Т% (QaQa')_1/2. (8.16)
q-> О
Для корреляционной функции случайного поля получаем те-перь
w <r) = w ? \ d4 s(ч) (q)»«' (- ч)eiqr- (8.17)
a, a'
*) Заметим, однако, что при необходимости выполнять в дальнейшем численное интегрирование это обстоятельство следует учитывать ибо тогда интеграл заменяется конечной суммой.
§ 8. СОБСТВЕННОЕ СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ
93
Формулы (8.14) и (8.17) выражают бинарную корреляционную функцию через атомные псевдопотенциалы, характеризующие структуру данного материала, и через функции 5 aa't непосредственно определяемые на опыте.
Заметим, что возможные эффекты ближнего порядка учитываются здесь автоматически. Они характеризуются функциями ®аа' (г)> т- е- в конечном счете величинами Saa' (q).
Атомные псевдопотенциалы известны для многих элементов, и функции fa(q) можно считать заданными либо таблично, либо графически, либо с помощью интерполяционных формул того или иного типа. Комбинируя их с экспериментальными данными ДЛЯ S аа' (q)> мы могли бы рассчитать и функцию 'F(r). В рассматриваемой задаче, однако, можно обойтись и без этого.
Действительно, рассмотрим сначала гомеополярные материалы. Мы имеем здесь систему с короткодействующими силами. Поэтому единственные значения энергии и длины, которые могут входить в формулы (8.14) и (8.14"), — порядка атомных. Иначе говоря, в задаче нет параметров, которые могли бы обеспечить доминирующую роль малых волновых чисел в правой части (8.14). Отсюда явствует, что поле может оказаться гладким лишь в результате случайных соотношений между параметрами функций 5 и V. Видимо, в таких веществах гладкое случайное поле может появиться лишь при наличии структурных дефектов. Мы вернемся к этому вопросу в конце данного параграфа.
Рассмотрим теперь асимптотику функции 'F(r) при г-*- оо. Для этой цели удобно воспользоваться координатным представлением. По определению (п — г2 = г)
? (Г1 - r2) = ((V (г,) - (V)) {V (г2) - <V))) = (V (г) V (0)> - (V)2. (8.18) Подставляя сюда выражение (8.3), находим
Y(r,-r2) = 5 П (г,-R,) о (*-!*,) +
к ч г = 1
N 1
+ Yj v (r> — R<)v (r2 — R/)w (Ri — R/) I —
i. />i
)
Интегралы по всем переменным R*, кроме входящих в аргументы атомных псевдопотенциалов, равны й, а интегралы, содержащие псевдопотенциалы, не зависят от нумерации индексов
94
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
при R. Следовательно,
4f(ri-r2) = |-JdRw(r1-R)w(r2-R) +
+ \ rfRi ^R2[® (Ri - R2) - 1] v (г, - R,) у (г2 - R2) +
+ \ dRio (ri - Ri) \ dR2v (r2 - R2) - ^ (J dR v (r, - R))*.
С точностью до слагаемых ~?2-1, исчезающих при термодинамическом предельном переходе, последние два слагаемых взаимно уничтожаются, и мы получаем после очевидной замены переменных
^ (ri — гг)= ^ dR v (R) v (Г[ — r2 + R) +
+ Qo"2$dR1dR2[i0(R1-R2)- 1] о (Г! — Rt) о (г2 — Ra). (8.19)
Согласно сказанному ранее, первое слагаемое в правой части
(8.19) заметно отлично от нуля, лишь если расстояние |г 1 — Гг | —порядка атомного. Поведение второго слагаемого зависит от того, как быстро происходит убывание функции o>(Ri — R2)—1 при | Ri — R21 —*• оо. Из экспериментальных данных, указанных в § I. 2, вытекает, что в аморфных германии и кремнии функция w(r) практически обращается в единицу на длине гс, не превышающей нескольких межатомных расстояний. Естественно ожидать, что так будет обстоять дело и в других аморфных материалах с короткодействующими силами. С другой стороны, представление о случайном поле часто используется в задачах, в которых существенны значительно большие длины. Так обстоит дело при исследовании поведения носителей заряда, занимающих не слишком сильно локализованные состояния в щели для подвижности (в том числе и у края подвижности), а также носителей заряда с энергиями, принадлежащими непрерывному спектру (не слишком далеко от края подвижности). В этих условиях имеет смысл аппроксимировать корреляционную функцию выражением (7.37в), причем в силу
