Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
идеального газа
I. Система автомодельных уравнений. Уравнения адиабатического движения
идеального газа (1.6)-(1.8) для автомодельных решений (1.9) в переменных
V (х), Q (т), z (т) = 7P/R, R (т), U (т), т = In X принимают вид
w=z'=iv-щ*- (V-m12 (2 ~х ~ 1) ~2V) +
+ (2 (yV -1)+(у-1) U) (V - б у - (у -.1) (- Q2 -f F2 - V)(V-6)],
(2.1)
V' = {z{x - 2V - U) + (- + - V) (V - S)}(z - {V -
б)2)"1,
rv_Q(l-2r) U(l-U) .. s + 2-\-6(k + i)
U - V-6 ' u ~ F-6" ' И --------v-------•
238
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Уравнение для изменения плотности отделяется: R' _ _r + < + (fe + l)F--ff
(2.2)
R
V - 6
Отметим, что первое уравнение (2.1) можно записать также в виде
Система (2.1) имеет три инвариантных трехмерных подмногообразия: ?2 = 0,
U = 0 и U = 1. На двумерном инвариантном многообразии Q = 0, U = 0
система (2.1) описывает автомодельные радиальные движения газа с
цилиндрическими волнами, подробно изученные в книге [7].
Алгебраическая структура динамической системы (2.1) вполне аналогична
алгебраической структуре системы (1.14) из главы V, описывающей
автомодельные сферически-симметричные движения самогравитирующего газа,
при этом формальным аналогом переменной т является переменная ?22.
Система (2.1), так же, как и система (1.14) главы V, имеет поверхность
непродолжимости решений L = z - (V - б)2 = 0. Существование этой
поверхности формально является причиной возникновения в некоторых
автомодельных решениях с вращением газа ударных волн.
Система (2.1) становится сингулярной при V = б. Вне поверхности V = б (в
конечной области координат z, V, Q, U) находятся (при любых у) шесть
особых точек системы (2.1), которые мы обозначаем Zf по аналогии с
особыми точками системы (1.14) главы V:
Все эти особые точки являются невырожденными. Вырожденные особые точки
системы (2.1) можно полностью разрешить с помощью последовательности
преобразований координат, примененной в § 1 главы V (см. ниже, § 4).
Система уравнений газовой динамики для обобщенных автомодельных движений
с плоскими волнами, имеющих вид (1.10), сводится к следующей системе
(обозначения см. в (2.1)):
Z
- (у - 1) V + 2 (1 - yV) - (V - 1) и
V - ь
(2.3)
Z\: V - I, ?2 = 0, U = е = 0;1; г = 0;
Z?: V = -у , 0=0, U = 0,
, _ (У - *) (* - УФ).
Y2 (ку - 2) '
(2.4)
_ 3(7-1) (3-7)(3-у-2-уб).
8-у2 (ху - 3) '
Zf:F=0, ?2 = 0, i/ = e - 0; 1; z =
0.
^ - TP- - 6) - (^ - 6)2) [2 (2 - X (Y - 1) - 2F) +
+ ((1 + У) v - 2 + (у - 1) Ub (V - б)* - (у -1) (V2 - V)(V- 6)1,
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
239
г = {г (х _ V - U\) + (F - б) (F2 - V)} (z - (V - б)2)"1, С/f (F - б) =
U{ - U&Ui, Wu (F - б) - И7* - tfjw* д' (F - б) = R (- Г + s + (к + 2) F -
U\).
Здесь по повторяющимся индексам i,k - 2, 3 производится суммирование.
Нетрудно получить простые точные решения с плоскими волнами,
соответствующие особым точкам указанной системы, в которых матрица U)
диагональна и имеет собственные числа, равные 1 или 0.
В данном параграфе мы укажем для системы автомодельных уравнений (2.1) -
(2.2) (в основном при U = 0) ряд алгебраических интегралов, связывающих в
конечном виде величины
F, Л, Р, ?2, X *= ехр т.
И. Интеграл момента количества движения. Для получения интегралов
автомодельных уравнений (2.1)-(2.2) при U ~ 0, связанных с различными
сохраняющимися величинами F (значение F вычисляется для единичного объема
газа), мы воспользуемся следующим приемом, предложенным в книге [7].
Рассмотрим подвижные цилиндрические поверхности г' (t) и г" (t), на
которых автомодельная переменная X принимает постоянные значения X' и X".
Для любой функции F справедливо следующее тождество [7]:
¦jriFrdr = ilFrdr+ ИЗт-")]/ <2-5>
г' г'
Здесь символ d/dt означает дифференцирование по времени, производимое над
интегралом по подвижному объему, составленному из одних и тех же частиц
газа. Интеграл в (2.5) для функции F, не зависящей от и ф, совпадает с
полным интегралом по столбу газа единичной высоты, ограниченному
цилиндрами радиусов г' и г".
В силу закона сохранения момента количества движения имеем
- г"
-?¦ Jpr2u>dr = 0.
Г'
После подстановки формул (1.10) получаем
г''
JL J pr2M) dr = abi-4b-W-*-2 ((1 - к) б - (1 + *)) jj RQX~* d%,
г' %'
рr*u> {jf - у) ? = afr-4b-W-*-*RQte~* (б - V)
240
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
Поэтому тождество (2.5) при F = рrw дает
%г Г
((1 _ 1с) б _ (1 + s)) J ДЙАг* d% = лш-* (5 - 7) . (2.6)
v v
Согласно (2.6), при (1 - к) 8 - (1 + s) = 0 (х = (26 + 1Уу) значения
функции RQX1^ (У - б) на произвольной траектории системы (2.1) - (2.2)
совпадают при любых А/, V. Следовательно, при к - (26 + 1 )/у имеется
интеграл системы (2.1)-(2.2):
Фх - RQ (У - 6) = const (2.7)
Отметим, что условие существования интеграла (2.7) (1 - к) б -
- (1 + s) = 0 означает, что из констант автомодельного решения а и b
(см. (1.9)) можно образовать константу с размерностью момента количества
движения, рассчитанного на единицу длины, а именно [abl~k] = MLT-K
III. Интеграл энергии. Полная энергия столба газа единичной высоты,
