Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
A3. KV' - a-----------------, KU2b=---------q-------,
> ___о __ 4 -f- 8 (1 - y) .
- p - '
X41 ^Vo=0, ^2,3 V2 (3 ~\~ 8 - Y^dz[(3-f-? - Vх)2 H"
+ 4 (1 - в - >c) (4 - e (y - 1))]1/2)*
Собственные числа (5.11) в особой точке X(r), лежащей на поверхности
непродолжимости решений z - (V - б)2 - 0, вычислены после замены
переменной dxjdx3 = (1 - иа)"1. Особая точка Х\ принадлежит некоторой
линии особых точек /, лежащей на поверхности непродолжимости решений щ =
1. При х << 2 и 1 < Y < 2 из (5.11) получаем, что особые точки Xj, Xj, Х4
являются седловыми, а особая точка Хз является отталкивающей; для особых
точек X? это же верно при x<1,1<;y<3 (особая точка Хз является
отталкивающей на многообразии U - 0). Расположение особых точек и
качественное поведение траекторий системы (5.9) на трехмерном
инвариантном многообразии U = 1 при
252 АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
x<2,1<y<[2b окрестности двух плоскостей v0 = 0 и и2 - О показано на рис.
35.
Сепаратрисы, выходящие из особой точки Х\, определяют решения с
расширяющейся границей (X - Я0) внутри газа. Асимптотика этих решений при
Х0 имеет вид (6 = 1, 2; 1 <
Константы а, |3 определены выше (см. (5.10), (5.11)). В асимптотике
(5.12) при x<6y-1 (1 -J- y)-1 плотность газа,
вдоль устойчивой последовательности сепаратрис Х\Х\, Х\Х\, X\Z% (см. рис.
35). (Отметим, что траектории системы (5.9) при и2 = 0 (z = 0) изучены в
п. I; см. (5.7); в частности, сепаратрисе X\Z\ соответствует окружность
(5.7) при К = 0.) Соответствующие решения при
описывают автомодельный разлет вращающегося газа в вакуум. Эти решения
регулярны при всех г > 0, причем полная масса и энергия столба газа
единичной высоты конечны. Внутри газа образуется расширяющаяся с
постоянной скоростью v0 - Х0Ъ пустота (X < Я0), на границе которой (X Я0)
решение имеет асимптотику (5.12). На этой границе вертикальная скорость
газа и достигает максимума. Максимальная угловая скорость Q ж 1/2
<V<2)
(а+Р)/2оь
(5.12)
давление и угловая скорость w на внутренней границе равны нулю. Поэтому
можно считать, что в области X <с Х0 образуется пустота. Внутренняя
граница газа X = Х0 расширяется с постоянной скоростью v0 - Х0Ь;
вследствие наличия вращения газа внутренняя граница является устойчивой.
Рис. 35. К построению решений, описывающих автомодельный разлет
вращающегося газа при 6 = 1.
Рассмотрим траектории системы (5.9), идущие
6 = 1, 2у-1 < х < 6у 1 {у + 1) \ х
< 2
§ 5] АВТОМОДЕЛЬНЫЙ РАЗЛЕТ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ГАЗА 253
достигается при к ^ У 2 к0. Область наиболее быстрого вращения газа Q ж
1/2 распространяется по частицам с постоянной скоростью и1^У2к0Ь.
Асимптотика рассматриваемых решений при г оо имеет вид (5.4), 6 = 1,
причем предельная радиальная скорость газа v может быть сколь угодно
мала.
III. При специальном значении показателя адиабаты у = 3/2 (что
достаточно близко к у = 1,4 для обычного воздуха) существует еще один
класс автомодельных решений, описывающих разлет вращающегося газа. Для
построения этих решений исследуем свойства линии особых точек (3.3):
V = 1/2, Q - Q0, С/ = 1, z0 = a (QJ + 1/4) (5.13)
при а = (1/2 - 6) (х - 2) у 0. Система (2.1) в особых точках
(3.3) имеет следующие собственные числа: кг = 0, А,4 = ку = = (б - 1/2)-
1, собственные числа k2f 3 удовлетворяют характеристическому уравнению
к2 + к (2z0 + (4QJ + 3)/8) Ц1 + (3/4 - Q^Lo1 = 0, (5.14)
L0 = s0 -- (1/2 -б)2.
Собственные векторы, соответствующие^ собственным числам к^ к2, А3, лежат
в плоскости /7 = 1.
Линия особых точек (5.13) при р = (1/2 - б) (х - 2) - 1/4 0 разбита
поверхностью непродолжимости решений L = z -
- (V - б)2 = 0 на две части: I\ (Ь0 <0, 0 < Q0 < Р1/г) и ^2 (L0 ]> 0,
Q0 !!> Р1/2)* На отрезке 7i при 1/2<б<^1, 0<^х<2 имеем Qq <3/4, поэтому
из (5.14) получаем к2-к3 = (3/4 - Qo)^1 <
< 0, т. е. к2 у 0, к3 < 0. Следовательно, из каждой точки отрезка 1±
выходит двумерная сепаратриса Х0, отвечающая собственным числам к2 у 0,
к4 0.
При у = 3/2 система (2.1) на инвариантном многообразии U = 1 имеет первый
интеграл (см. (2.17))
Ф7 = z | V - б |V* ?!-*/'* = const.
На поверхности уровня интеграла Ф7 = С система (2.1) при ?7 = 1
преобразуется на плоскость z, V; качественное поведение траекторий
полученной системы при Ф7 = С С0 = а | 1/2 -
- б I12 (3/4)_3/4 в области L < 0 показано на рис. 36. Из каждой
особой точки отрезка 7Х (L << 0) линии (5.13) выходит единственная
сепаратриса I (отвечающая собственному числу к2 0), входящая при т-> эо в
особую точку Z\ (z = V = Q = 0, U = 1). Из особой точки Zj, согласно
(5.3), выходит единственная сепаратриса (вдоль которой координата U
изменяется от 1 до 0), идущая в притягивающую особую точку Z$. Поэтому
существуют сепара-
254
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
трисы, выходящие из особых точек отрезка 1Ъ отвечающие собственным числам
Я2 О, Я4 0 и идущие в особую точку Z\.
Автомодельные решения, соответствующие указанным сепаратрисам, при
1/2 < б < 1, 2/у < х < 2, р > О, Q0 < Р1/з
