Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
0.
Решения (3.4), так же как и решения, соответствующие особым точкам (2.4)
и траекториям (3.1), относятся к классу движений газа с однородной
деформацией (скорости газа являются линейными функциями координат).
При и/8 < 0 существует стационарное решение степенного вида, в котором
газ только вращается:
v = 0, w - C^VV1"1/8, и = 0, (3.5)
о 2+s V* s . 2(1-6)
р=-------- С\СъаЬ 6 г в, р = С,аЬвг 6 6 .
Это решение соответствует следующей траектории системы (2.1): 7 = 0,
17 = 0, z =-------- О2, а = си-1/6. (3.6)
УС
При y - 2 и 7 = 5/3 существуют нестационарные решения степенного вида, в
которых угловая скорость вращения газа, так же как и в решении (3.5),
зависит от расстояния до оси вращения. Эти решения соответствуют
следующим двум траекториям системы (2.1):
у -2: 7 = 1, J7 = 0, z = -^Jq2, Q = (3.7)
у= : 7 = 1, и= 1, z = ~|a2, a = C1%V(b-i). (3.8)
Обозначим при у = 2 Рх = 2 ^ , Wi = 0 и при у = -Ц- Ра =
= 3(1 -^~5) ' Ui==^' Траекториям (3.7) и (3.8) при р{]>0 соот-
244
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
1ГЛ. VI
ветствуют следующие решения:
1 б 2б-1 v = , w = С\Ъ 1-6 г 6-11 6"i, и = Ui - j-,
(3.9)
В решении (3.9) при у = 2 (i = 1) частицы газа движутся по спиралям ф -
С3 + Cq/г, zt - С4 и при t = 0 выходят из оси вращения г = 0. В решении
(3.9) при у = 5/3 (i = 2) частицы газа движутся по спиралям ф = С3 +
Cq/г, лежащим на конусах zx *= = С4г; при t - 0 частицы газа выходят из
центра г = zx - 0.
§ 4. Исследование динамической системы
Динамическая система (2.1) в дальнейшем рассматривается в следующей
области 5'четырехмерного пространства (z,?l, V, Е7):
2 > 0, Q > 0, -оо <7< + <х>, 0<tf<l. (4.1)
Ограничение области значений координаты С/ обусловлено тем, что вне
отрезка (0,1) координата U вдоль траекторий системы (2.1) обращается в
бесконечность при конечных значениях переменной Я. Система (2.1)
становится сингулярной при 7^6, причем каждая траектория системы (2.1)
при всех % остается в одной из областей Sx (V < б) или S2 (V б).
Алгебраическая структура динамической системы (2.1), как отмечалось в §
2, вполне аналогична алгебраической структуре системы (1.14) главы V,
причем переменная т является формальным аналогом переменной Q2.
Вследствие этого полное разрешение особенностей динамической системы
(2.1), или построение компактного многообразия S, на котором система
(2.1) имеет только невырожденные особые точки, осуществляется с помощью
преобразований координат (1.17)-(1.33) из главы V, где переменную т
следует заменить на ?22, а параметр 2/со обозначить б. При всех этих
преобразованиях координата U не меняется. Компактное многообразие S для
каждой из инвариантных областей S± (У < б) и S2 (V > б) является
произведением трехмерного компактного многообразия ?0, построенного в
главе V, на отрезок I (0,1) (область значений координаты U). Две новые
компоненты границы U *= 0 и U s= 1, очевидно, являются инвариантными
многообразиями динамической системы (2.1).
Исследуем наиболее интересные особые точки динамической системы (2.1) и
соответствующие им степенные асимптотики реше-
р = С2аЪ
р=ФV-v*. Р = .
Pi 6
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
245
ний. Особые точки будем обозначать Z(r), где номер i совпадает с номером
соответствующей особой точки на компактном многообразии S0 главы V, а
индекс 8 = ОД означает два экземпляра этой особой точки, лежащие при U -
0 и U - 1. В дальнейшем в основном рассматривается система (2.1) в
области (V < б). Сделаем замену переменной dx^dx=? - 1/(F - 8) и введем
новые координаты (аналогичные координатам (1.17) главы V)
и = *V. >0, i;0 =V - б < 0, - - (Q*(V - 6))V" > 0
(в области S2 (V б) производится замена времени dx^/dx = = 1/ (V - б) и
координаты (4.2) удовлетворяют условиям U 0, Vq 0, w0 < 0). В координатах
(4.2) динамическая система (2.1) имеет инвариантное подмногообразие v0 -
0 (компонента границы Г6 многообразия S).
Для исследования поведения траекторий динамической системы (2.1) при
больших Значениях координат и, v0, w0 произведем пополнение области I?!
границей на бесконечности по координатам и, v0, w0. Такое пополнение
осуществляется с помощью
следующих координат (указана также замена переменной т)^
Рис. 34. Разрешение вырояг денных особых точек и 0(r)-
Vx = - и
1
р°=-,
Wl=m
и
dx 1
^ • (4-3) dx ^0
Координаты (4.3) аналогичны координатам (1.18) главы V. В координатах
(4.2) и (4.3) система (2.1) имеет четыре вырожденные особые точки: 0\
- и>г - р0 - 0, U = г = 0, 1) и 0\
(v0 - w0 = и = 0, U - е = 0, 1). Для разрешения вырожденной особой точки
Of введем координаты (см. главу V, (1.21))
vi
Уо==-^
w2 = - ¦
Ро
v0Q2
ро =
*з.
(4.4)
Для разрешения вырожденной особой точки 0\ введем координаты (см. главу
V, (1.27))
v0Q2
4 и ~ и2'
М, W2 :
г/2 *
(4.5)
Координаты (4.3) - (4.5) при условиях (4.2) покрывают часть многообразия
5, показанную на рис. 34, где изображены также особые точки динамической
системы (для сравнения см. рис. 26).
246 АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
