Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
I. Для построения решений, описывающих автомодельный разлет
вращающегося газа при б 1, исследуем свойства особых точек Zt(V = 1, Q *=
2 = 0, U = г = 0, 1) и Z\ (V *= П = 2 *= 0,
АВТОМОДЕЛЬНЫЙ РАЗЛЕТ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ГАЗА
249
U = е - 0, 1). Система (2.1) в особой точке Z\ имеет следующие
собственные числа:
^=тйг(2 + е)' ^ = ^=-б^т> ^=т5г-
(5.1)
Особая точка Z\ при б 1 является отталкивающей, причем при у ]> 4/3 все
сепаратрисы (кроме одной), выходящие из особой точки Zj, касаются в этой
точке инвариантного многообразия z = 0 (поскольку Xz > Ху = Xq = Хи при у
> 4/3). Соответствующие решения имеют следующую асимптотику при X -> 0:
б 1-26
V = , w = Cirb~4 6-1 , и = -у- ,
s+fr 5-2б-ку ху- 2-6
(5.2) р =¦ аб6-1 Схг 6-1 / 6-1 ,
Sffr-3(y-l) У(3~К) у(*-3б)
р = ab 6-1 С2г 6-1 ? 6-1 .
В асимптотике (5.2) при х < (5 - 26)/у < 3 имеем р -> 0, р 0 при г 0.
В особой точке Ъ\ система (2.1) имеет следующие собственные числа:
Xz^4-(-2 + (7-1)e), lv = ba=-------------i-, _ Ьц=-^-.
(5.3)
Особая точка Z\ при б 0 является притягивающей, причем все траектории
(кроме одной), входящие в эту особую точку, касаются инвариантного
многообразий z - 0 (поскольку \ Xz\^>
| Ху | = | Xq | - | Хи |). Соответствующие решения имеют при X -> оо
следующую асимптотику:
у = Ь1/ * С' iT-ce-i) / 6, w - &1/б(72Г(б-1)/б^ и - ^i/б^^г"1/6, (5.4)
р - abs 4r(2"26_>iv)/6? р - а6^+2^бСбГ"ку/5.
В асимптотике (5.4) константа Сг может быть любого знака; остальные
константы Ct положительны.
В случае расширения газа в атмосферу необходимыми условиями при г ->
оо являются р ро, р -> р0, что в асимптотике (5.4)
достигается только при х = 0, б = 1. В случае расширения газа в вакуум
при г оо имеем р -> 0, р 0, что достигается при х > (0; 2 (1 - 6)/y). Для
решений с асимптотикой (5.4) условия конечности (при г 1) массы и полной
энергии газа в слое единичной высоты (по координате гг) имеют вид
х > 2/у, х > 28/у. (5.5)
250
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
При б > 1 система (2.1) имеет траектории (сепаратрисы), выходящие из
отталкивающей особой точки Z\ и входящие в притягивающую особую точку Zg.
Действительно, рассмотрим систему
(2.1) на инвариантном многообразии z - О.-
Траектории системы (5.6) в плоскости 7, П являются дугами окружностей
(7 - 1/2)2 + (Q - К)2 = К2 + 1/4, (5.7)
где К = [(7 - 1/2)2 + Q2 - 1/4] (2?2)-1 - первый интеграл системы (5.6).
Все окружности семейства (5.7) проходят через две точки 7 - 1, Q - 0 и 7
- 0, ?2 = 0. Поэтому, если окружность (5.7) не пересекает линию V = б (в
этом случае К < б (б - 1), б 1), то соответствующая траектория системы
(5.6) выходит из особой точки Z\ и входит в особую точку Z? (координата U
в области
7 < б в силу системы (5.6) монотонно убывает от 1 до 0).
Траекторий системы (2.1) при z<^ 1 аппроксимируются траекториями системы
(5.6) и, поскольку особая точка z\ является отталкивающей, а особая точка
Z\ является притягивающей, также имеют начало и конец в этих особых
точках (аналогичные решения имеются и при. U = 0и соответствуют
траекториям, идущим из особой точки Ъ\ в особую точку Z{J).
Соответствующие решения при х > 0, 6 1 описывают разлет вращающегося
газа в ваку-
ум. Асимптотики этих решений при г -> 0 и г -> оо имеют вид
(5.2), (5.4). При выполнении условий 26y-1 <С х <С (5 - 26) Y"1
рассматриваемые решения являются регулярными при всех г >0, причем полная
масса и энергия столба газа единичной высоты конечны. Угловая скорость
вращения газа Q -> 0 при г -> 0, оо; Q достигает максимума Q0^K + (К2 +
1/4)1/2 при некотором % - Область наиболее быстрого вращения газа w ^
rQ0/t распространяется по частицам со скоростью Vi - бА,^6"1. Знак
скорости газа v при г оо противоположен знаку К.
II. При 6 *= 1 особая точка z\ совпадает с вырожденной особой точкой 0\
(7 - б, z -= Й = 0). Для разрешения вырожденной особой точки 0\ при 6 - 1
сделаем наряду с преобразованием
(4.5) следующее преобразование координат:
7' - - [(У - 1/2)2 - Q2 - 1/4] (7 - 6)-\
Q' = _ 2Q (7 - 1/2) (7 - б)*"1,
U' *= - U (U-1)(7- 6)-1.
(5.6)
Т 7 А ц2
Vo = V - 1, и2 = -
vl
Z
Система (2.1) в координатах (5.8) и переменной т3 (dxs/dx =а
§ 51 АВТОМОДЕЛЬНЫЙ РАЗЛЕТ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ГАЗА 251
- - i/v0) имеет следующий вид (6 = 1):
Vq =-------~ т \и% (% - U - 2i;o - 2) -f- w3 Vo -h 1 ]>.
U% - 1
Ws = -^-.[U2(x - U + 2vo) + W3-----1- 3i;0],
"2~1 (5.9)
йг- - 2. {(2vo - (Y "Ь 1)и "Ь 4 + 2U) (у + 1) и>з
- 3 + Y + (Y l)yo + (Y 1)^1"
U = - U (U - 1).
Система (5.9) имеет инвариантное многообразие v0 = 0, на котором лежат
следующие особые точки этой системы (?7 = 8 = 0,1):
Х\ : v0 - щ - wz - 0; : v0 = щ - 0, и>3 - 1;
¦¦Ц: ". = ¦* = <>, B, = uS= ll^-Л ; (5Л0)
Х\ : v0 = 0, иг - 1, w3 - 1 + е - х.
При к < 1 + е в особой точке Хз имеем и\ < 1, а в особой точке Х| имеем
м;3 ]> 0. Собственные числа системы (5.9) в особых точках
(5.10) имеют вид
XI: Ь"в"=1, Xtte=-(3 -V -(Y-l)e), U=l;
X(r): Ь* = 2, Л"2=-4 + (Т-1)е, ^ = -1;
ve. 7 . "_ (2 + e) (Y - 1) * . 3-Y-e(Y-l)
