Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
Динамическая система (2.1) в координатах (4.4) имеет следующий вид:
р" = . . (Xt + + 26 + U-K-W*), & = - С7(1 -
U),
1 - Роуо
= ~г\ш № + + х3 - и - 2(1 _ 26 - 2v0) (1 -
vlpl)],
1 - Роио
(4.6)
Р°- 0 ^2 г [(1- Y) ^1 - ^2 + Х3 + 2^0 + 26 - к - м>2]>
2(1-Р$Ф
где введены обозначения
Хг - - р0 (i;0 + 6) (у0 -f- б - 1) р(ь Х2 = 2 - у (х + w2),
Хз = vl pj(2 - (Т - 1) С/ - 2Тб - 2yv0).
В координатах (4.5) динамическая система (2.1) имеет вид V* = ~T^F + Г. -
Y3), tfi = - {7(1 - U), wl = Wi + У2 - У3 - 2 (1 - 26 - 2Viu*) (1 -
"fc*")], (4.7)
-г- [(1 - y)Y1 - У з + (Y - 1)(и + wi) +26- 2 + 2V2U2].
2 (1 - vy)
Здесь введены обозначения Yx = - i;4(i;4w2 + б) (i;4w2 + 6 - 1), Y2^=2
+ U - у (к - о2),
Y3 = i;4w2 (2 - (y - 1) С/ - 2уб - 2уи^и2).
Динамические системы (4.6) - (4.7) имеют на вклеенных в результате
проведенных преобразований (4.4)-(4.5) компонентах границы Г2 (ро - 0) и
Г4 (и = 0) следующие особые точки (всюду координата U принимает значения
U - е - 0, 1):
Z\: ро -~ 0, w2 = 0, 1?0 =-2-
Z(r): р0 = 0, №2 = ^-y^-Я, Уо = 0;
Г/г а 8 8 (V - 1) с
Z3:Po = 0, w^-^-к, (4 g)
: ро - w2 = Vo== 0; Z5: гг = w2 = 174 = 0 j
z;;"=о, щ=о, ",_±+*=*1;
nrg r\ s -45 ^
Z8: м = U, w2 =-1--------x, i74=0.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
247
Здесь волной отмечены особые точки, у которых нет аналогов на компактном
многообразии S0 главы V (см. рис. 34 и 26). При
6 ->- 1 в особой точке Z\ координата i;4 -> - сх> (см. (4.8)).
Поэтому в случае 6 - 1 для полного исследования вырожденной особой точки
02 преобразования координат (4.5) недостаточно. Необходимое
дополнительное преобразование координат при 6 = 1 указано ниже, в § 5.
Отметим, что во всех особых точках Ъ\ собственное число системы (4.6) -
(4.7), отвечающее координате С/, Xjj - - 1, а в особых точках Z\ имеем Хц
- + 1 (в дальнейшем не будем указывать вновь собственное число Хц).
Исследуем подробно два типа особых точек, имеющих приложения в
построениях §§ 5, 6. При у - 2 и 26 - х [> 0 на компоненте границы Г2 (р0
- 0) имеется отрезок особых точек 26, на котором
ро - 0, U - 0, w2 - 2i;0 = 26 - х, 0 ^ w2 26 - х. (4.9)
Отрезок 35 проходит через особые точки Zj, Zj, Z\. Особые точки на
отрезке 36 имеют следующие собственные числа:
Х± = ОД у = - 1Д3 - - w2 + к - 26 < 0 Др. = 1 - W2-K.
При х 1 отрезок X целиком состоит из притягивающих особых точек. При х <
1 на отрезке§5 имеется отрезок неустойчивых особых точек х/2 <[ V <[ 1/2,
из которых в физическую область многообразия S выходит двумерная
сепаратриса. Соответствующие решения при К -> 0 имеют следующую
асимптотику:
v = V -, w-
2Г - х
V - б
1/2
Ci?rar1+"fi-e", и -0,
p = C2^-i-W^, a = 2^i>0, a = ±Z^-, (4.10)
p= P _ 2 . > 0.
В этой асимптотике на оси вращения давление р - 0. Асимптотика
(4.10) имеет физический смысл, если при г = 0 имеем также w = 0, т.
е. 1 + a ]> 0 или 1 - 6 < V < б.
Сепаратрисы особых точек линии X определяют решения, продолжающиеся до
оси симметрии г - 0. Таким же свойством обладают решения, соответствующие
сепаратрисам особых точек
zl,zi
Особые точки Z\, Z\, Z\, Z(r), Z\ лежат на инвариантном многообразии v0 -
0. Сепаратрисы этих особых точек определяют решения, в которых область,
заполненная газом, имеет движущуюся границу X - Х0. Особая точка Z(r) имеет
следующие собственные
248
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЮ ГАЗА
[ГЛ. VI
числа:
б
1 (г + 2) (у - 1)/2y, XUa - XW2 - 2 (2S - 1).
(e + 2 - xy),
(4.11)
Сепаратрисы особой точки Z\ определяют решения с внутренней (X ^> Х0) или
внешней (X <; Х0) границей газа при одновременно положительных или
одновременно отрицательных собственных числах Хи, Хи,2 (4.11). Эти
решения имеют следующую асимптотику при X Я0:
JL
А
и = е •
w s= bt^Ci
-1
Р =
Yy4
ab~k-iC<>t-KV
-?- - i
-3*
р = a&-Ji:-3f2(1-6)-4vC2
- 1
-i-р
(4.12)
a = 2X"
2(8-
P.
xy
1) + (e + 2) I
Vv4
2b..
l>4:
т 7
8-f 2-
Pi =
26-1
>0,
¦ %y
уд {6-1)
В асимптотике (4.12) скорость газа w -> 0 при Х-+ Х0. Из необходимого
условия ограниченности давления при X -> Х0 получаем Р2 < 0. Поэтому
асимптотика (4.12) имеет физический смысл только в случае неустойчивой
особой точки Z\ (собственные числа Хщ и Хи имеют противоположные знаки).
В этом случае на границе X = Х0 давление газа р = 0; температура газа Т ~
р/р ~ | Х/Х0 -
- 1 | 0 при X -> А,0; при -1 - р2 0 плотность газа на гра-
нице р -> 0, т. е. можно считать, что газ граничит с пустотой.
§ 5. Автомодельный разлет вращающегося газа
В данном параграфе исследуются три различных типа автомодельного разлета
вращающегося газа, существующие при следующих значениях параметра б: б 1;
б - 1; 1 ]> б > 1/2 (в последнем случае показатель адиабаты y == 3/2). Во
всех трех случаях соответствующие траектории системы (2.1) при т->оо
входят в притягивающую особую точку Z\ (z = V = Q = U = 0), что
обеспечивает необходимую асимптотику решений при г->¦ оо. Поведение
исследуемых решений в окрестности оси вращения различно и зависит от
значения параметра б.
