Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
описывают разлет вращающегося газа (при у = 3/2) в вакуум. Эти решения
регулярны при всех г^О и имеют при г ->• 0 асимпто-
Рис. 36. Качественное поведение траекторий динамической системы (2Л) при
у = 3/2, U = 1 на уровне интеграла Ф7 = С > С0.
тику точного решения (3.4); в окрестности оси вращения получаем р 0, р -
*¦ 0, u-^Zjtr1, v-^1/2rt~1. При г-+• оо
рассматриваемые решения имеют асимптотику (5.4), причем полная энергия и
масса слоя газа единичной высоты конечны. В рассматриваемых решениях
угловая скорость вращения газа Q и вертикальная скорость газа и
максимальны в окрестности оси г = 0. При б = 1, х = 0 существуют
аналогичные решения, описывающие автомодельный разлет вращающегося газа в
атмосферу (эти решения применимы в некоторой конечной области 0 ^ г <
< Д0 ПРИ 0 < tx < t < f2).
§ 6. Некоторые автомодельные решения при 7=2
I. Применение интеграла энергии. Показатель адиабаты у = 2 выделен в
первую очередь тем, что к адиабатическому движению газа с у = 2 сводятся
следующие две важные задачи: 1) движение идеальной несжимаемой жидкости в
теории мелкой воды [110];
2) движение газа в магнитной газовой динамике при следующей
НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ПРИ y=2
255
часто применяемой идеализации [149, 150]: бесконечная проводимость газа и
вмороженность вертикально направленного магнитного поля, ортогонального к
скорости газа. Поэтому автомодельные движения газа с у - 2 можно
использовать для построения моделей некоторых явлений в указанных
теориях.
Динамическая система (2.1) при у - 2 и U = 0 имеет первый интеграл Ф3
(см. (2.13)):
z (V - 6) Q"2 = С0. (6.1)
При^ = б система (2.1) имеет также интеграл энергии (см. (2.10)).
Н = R (zV + (V - б) (У2 + Q2 + z)) = const Я*'1. (6.2)
На нулевом уровне интеграла энергии Н = 0 из (6.1) и (6.2) получаем
Со(У-Ь)У* 02 __ |/2(Г-6)2
С0 (2F - б) + (F - б)2 ' C0(2V -6) +(К - 6)2 * ' '
Поэтому интегрирование автомодельного вращения газа при у - 2, к = б
сводится (после подстановки (6.3) в (2.1)) к следующей квадратуре:
dV_______V19V - W С0(2У-д) + (У-Ь)*
dx - У ^ У [С0 (2V - 6) + (V - б)2] (V - 6) + С0172 '
т = 1пХ. (6.4)
После интегрирования уравнения (6.4) (которое может быть проведено в
явном виде) функции z, Q находятся из выражений (6.3), а функция R
вычисляется с помощью монотонной функции Фб (см. (2.15)):
- 6) = const p = 2-A^J_. (6.5)
Решение (6.3)-(6.4) определено в области
Со < 0, V, < V < б, Со (27 - б) + (V - б)2 < 0, (6.6)
где Vx - б - С0 - (Со - Соб)1^ - корень уравнения (6.6). В указанной
области при
1/2 < б < 1, С0 < (1/2 - б)2 (б - I)-1 < 0 (6.7)
имеются две траектории уравнения (6.4): траектория А, идущая из точки V =
б в особую точку V = 1/2, и траектория В, идущая из особой точки V = V± в
особую точку V = 1/2 (Уг < 1/2 <;
< б < 1). Решения, соответствующие этим траекториям, при X оо
стремятся к точному решению (3.4) (при этом угловая скорость Q Q0 =
const). Решение, соответствующее траектории А, имеет при X А,0
расширяющуюся пустоту внутри газа, на гра-
256
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
наце которой
1-6 3/4-6
F_>6, P~\V - б|*"1/2, -6| 6-1/2 , Q~|F -б|.
(6.8)
Таким образом, на внутренней границе (X при 1/2 < б <
< 3/4 имеем р ->0, р ->0. Решение, соответствующее траектории Z?,
продолжается до центра симметрии (X ->0, г ->0), при этом
V -"¦ V%.
Отметим, что поверхность Н = 0 на многообразии S (см. § 4) проходит через
особые точки Z\ (4.8), Z? (2.4), через линию особых точек X (4.9) и линию
особых точек (3.2) (при 1/2 < б < 1). Траектории А на многообразии S
отвечает траектория, идущая из особой точки Z(r) в особую точку на линии
(3.2), поэтому соответствующее решение при X -+Х0 имеет асимптотику
(4.12) (которая совпадает с асимптотикой (6.8)). Траектории В на
многообразии S отвечает траектория, идущая из особой точки на линии X
(см. (4.9)) в особую точку на линии (3.2), поэтому соответствующее
решение при X ->0 имеет асимптотику (4.10), которая имеет физический
смысл (скорость w -^0) при 1 - б << Fi. Остальные решения (6.3) - (6.4),
определенные в области параметров, отличной от (6.7), имеют при некотором
направлении X нефизические асимптотики.
II. Автомодельное вращение в теории мелкой воды. Теория мелкой воды
применяется главным образом при рассмотрении течений идеальной
несжимаемой жидкости, в которых высота слоя жидкости h (х, y)<^L, где L
-- некоторый характерный продольный размер и вертикальная
компонента скорости и2
[110, 151]. При этих предположениях давление р = р0 g (h - Zi), где ро -
постоянная плотность жидкости, g - ускорение силы тяжести, z-l -
вертикальная координата. Вводятся новые величины - эффективные давление и
плотность: h
_ Г" ^2 '
Р = \ pdz1 = p0g -тр, p = p0fe, (6.9)
о
которые, очевидно, удовлетворяют уравнению
г=т5Гр*- <вло>
Эффективные давление и плотность р, р вместе с горизонтальными скоростями
mi, и2 удовлетворяют всем уравнениям газовой динамики в двумерном случае,
причем уравнение (6.10) играет роль уравнения адиабатичности с
