Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
hi = б kkhik.
При этом уклонения ft? удовлетворяют дополнительному условию
(6'1°.1)
Уравнения поля в вакууме приводятся в нашем случае к системе трехмерных волновых уравнений
т) ерь* Phki
-Ш+1Ф + -ШГ-Ж = 0' (6'10'2)
описывающих некоторый волновой процесс, распространяющийся с единичной скоростью, т. е. со скоростью света.
Рассмотрим плоские гравитационные волны, отдечающия хорошо известному решению волнового уравнения
hI = hki (0); Q = t-kxx-k2y-k3z, (6,10,3)
где kly /?, kz — постоянные, удовлетворяющие условию + kl + + kl = 1.
Поправки hki определяются фазой 0, которая в данный момент имеет одинаковые значения во всех точках фазовой плоскости
kxx + k^y + k3z = t — 0.
Величины ku /?, fe3 представляют собой направляющие косинусы нормали к фазовой плоскости. Плоскость, соответствующая данному значению фазы, перемещается со скоростью света, сохраняя неизменную ориентировку в пространстве.
Система поправок hik должна удовлетворять условию (6,10,1)
4-=0, Т.е. 4г[п*-dxa 2 дх* дх \ J
Учитывая очевидные соотношения
A. А _ __ ь А
dt ~~ dQ ' дх ~~ de ' * •'' 10. Гравитационные волны
241
можно написать
К ж (Лп + \ б !л) + (йа + -І- 6?й) +
+ kS 4в (л» + -гб'л) + Ж - -Ил) =
При изучении волновых процессов нас интересуют только переменные части соответствующих величин. Поэтому, опуская постоянные интегрирования, имеем
К (ha + 4-6<А) + k* +-T 6^) +
+ h (his +4- ) + - 4- 6<A =
В развернутой форме эти условия принимают следующий вид:
hi (hu + 4" h) + AaAi2 + Mis + Ah = 0; + k2 (h22 + y^) + ^h23 + A24 = 0;
М» + M32 + k3 (Лзз + ft) + A34 = 0; (6'10f4)
^1^41 + Л2^42 + ^43 + A44--A = 0.
Десять поправок к галилеевым значениям метрического тензора связаны четырьмя соотношениями (6,10,4); шесть поправок должны быть найдены независимо, с учетом структуры изучаемых волн.
Если гравитационные волны существуют как реальный физический процесс, связанный с переносом энергии, то генерирующая их механическая система должна испытывать убыль энергии. Дадим количественную оценку энергии гравитационного излучения. При этом необходимо иметь в виду,. что приводимая здесь формула до некоторой степени условна, поскольку она основана на понятий псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля, физический смысл которого остается, как указывалось выше, не вполне ясным.
Пусть источником волн гравитации служит изолированная механическая система, все члены которой находятся внутри некоторого конечного объема т и не выходят за его пределы. Составим интеграл
? = J(f1+ Obdx9 (6,10,5)
равный энергии системы, содержащейся в указанном объеме.
15 А, Ф. Богородский 242
Г лава VI. Основные следствия ОТО
Естественно принять, что производная от этого интеграла па времени определяет убыль энергии системы вследствие гравитационною излучения.
Согласно закону сохранения (6,9,10), имеем
J- +U—s ^ + to - І + to + і (Я + 4).
или
-^-(Ft+ /І) = — ciiv А.
где через А обозначен трехмерный вектор с проекциями F1A + /1» і = 1, 2, 3.
Дифференцируя по времени интеграл (6,10,5), имеем
-f-»-Jdiv Adx.
T
Воспользовавшись формулой Остроградского — Гаусса, получим
=AnOS9 (6,10,?)
s
где интегрирование выполняется по поверхности S9 ограничивающей объем т.
Поскольку тензор энергии-импульса во всех точках граничной поверхности равен нулю, вектор А в формуле (6,10,6) имеет проекции u, й. Этот вектор играет в нашей теории такую же роль, как вектор Пойтинга в электродинамике, хотя, в отличие от последнего, он не имеет, как уже сказано, ясного физического смысла. В частности, его модуль нельзя конечно отождествить с плотностью потока энергии в соответствующей точке.
Допустим, что излучающая гравитационные волны система сосредоточена вблизи начала координат, а поверхность S является сферой, радиус R которой весьма велик по сравнению с размерами системы. Во всех случаях, которые могут представить интерес, поле гравитации является слабым, и потому при вычислении потока (6,10,6) можно пользоваться обычными формулами эвклидовой геометрии. Направляющие косинусы внешней нормали к поверхности сферы равны kl9 k2, kZ9 элемент поверхности определяется произведением R2CliO9 где (ко — телесный угол, под которым этот элемент виден из начала координат. Вместо (6,10,6) можно написать
= - R2 JJ (k±t\ + k/, -1- kjl) Ao. (6,10,7)
4л 10. Гравитационные волны
243
Применяя это уравнение, необходимо вычислить величины h\, согласно соотношению (6,9,14), найдя предварительно решение уравнений поля для рассматриваемой механической системы.
Достаточную точность обеспечивает решение Эйнштейна (5,10,2), которое в нашем случае можно написать в виде
Ai--5-віЛ---JJJ Tik (х\ у\ г', / - R) dx'dy'dz'. (6,10,8)
Однако и при таком упрощении вычисления остаются довольно громоздкими. С целью их дальнейшего упрощения считают, что на расстоянии R от излучающей системы гравитационные волны являются практически плоскими, а потому при вычислении 4 можно пользоваться решением вида (6,10,3). Обыкновенно принимают, что в излучающей системе происходят какие-либо периодические движения (системой является линейный осциллятор, вращающийся стержень, двойная звезда и т. п.). Поэтому периодическими функциями времени оказываются и величины Вследствие малости эффектов гравитационного излучения временные колебания не представляют интереса, поэтому в уравнение (6,10,7) вносят усредненные значения 4.
