Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Введенные с помощью соотношений (6,9,11) величины Pi следует рассматривать как некоторые количественные характеристики механической системы в целом, включая в понятие системы не только входящие в ее состав тела, но также связанную с ними метрику пространства-времени, а следовательно, и гравитацию.
В качестве иллюстрации вычислим энергию стационарной системы в ньютоновом приближении.
Пользуясь релятивистскими единицами, квадратическую форму,238
Г лава VI. Основные следствия ОТО
отвечающую статическому полю рассматриваемой системы, можно написать в виде
ds2 = — (1 + 2Ф) (dx2 + dy2 +dz2)+ (I- 2Ф) dt\ (6,9,15)
где ф — ньютонов потенциал.
Обозначим через р0 собственную плотность. Масса системы, вычисленная без учета гравитации, равна т0 = Jp0^t. В координатах X1 у, 2, отвечающих квадратической_форме (6,9,15), элемент объема определяется формулой dx = Y^gdxdydz1 где g — определитель 3-го порядка, образованный компонентами соответствующего метрического тензора трехмерного пространства. Внося g = (1 + 2ф)3, получим с принятой точностью Yg =1 + Зф, и, следовательно, dxdydz = (1 — Зф) dx.
Согласно (6,9,11), полная энергия системы
P^ I (Fa+ U) dxdydz.
В случае статической системы по формуле (5,4,1) имеем Т\ = р0. Определитель четырехмерного метрического тензора, соответствующего квадратической форме (6,9,15), равен g = — (1 +4ф). Поэтому Ft = (1 + 2ф) р0. Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля находим по формуле (6,9,14), которая в нашем случае дает /J = -jgj- L. Вычисление функции Лагранжа (5,7,1) применительно к квадратической форме (6,9,15) приводит к значению L = 2 (grackp)2. Следовательно, t\ = (grad ф)2. Энергия системы равна
Pa = j Po dx — { q>p0dx + -gL J (grad ф)2 dx.
В двух последних интегралах с принятой степенью точности элемент объема можно отождествить с произведением dxdydz.
Воспользовавшись соотношением
(grad ф)2 = div (ф grad ф) — Ф\72Ф и уравнением Пуассона V 2Ф = — 4яРо» получим
Pa = TI0--Хт J ФРо^т + -^rJdiv (ф grad ф) dx.
С помощью преобразования Остроградского — Гаусса нетрудно убедиться в том, что последний интеграл, по условию, на бесконечности исчезает. Таким образом, окончательно имеем
Pa = "VJ Wodr- (6'9'16)tO. Гравитационные волны
239
В рассматриваемом приближении полная энергия (масса) системы отличается от величины т0 потенциальной энергией гравитационных взаимодействий.
10. Гравитационные волны. При статическом распределении массы поле метрического тензора в данной системе отсчета неизменно. Примерами таких полей могут служить внешнее и внутреннее решения Шварцшильда, рассмотренные в главе V. Если же распределение масс переменно, то в гравитационном поле происходят соответствующие изменения. С точки зрения ОТО, такие изменения представляют собой возмущения метрики пространства-времени, которые, как мы видели в главе V, распространяются с конечной скоростью, равной скорости света. Особенный интерес представляют в этом отношении системы, в которых происходят периодические движения. В подобных случаях механическая система служит источником периодических изменений в метрике пространственно-временного континуума, получивших название гравитационных волн.
Гравитационные волны можно определить как возмущения метрики, которые распространяются с конечной скоростью и переносят энергию, вызывая соответствующую убыль энергии возбуждающей их системы
Вопрос о свойствах и особенностях распространения волн гравитации имеет значительный научный интерес. Однако в настоящее время само существование гравитационных волн нельзя считать бесспорно доказанным, поскольку их практическое наблюдение остается пока невозможным, а теоретические аргументы в пользу их существования не безукоризненны.
Впервые вопрос о гравитационных волнах в ОТО был рассмотрен Эйнштейном в 1916 г. на основе развитого им приближенного метода интегрирования уравнений поля [111. Более точный анализ, дополненный рассмотрением излучения гравитационных волн и их действия на механические системы, выполнен Эйнштейном два года спустя [121. В последующие десятилетия изучением гравитационных волн с точки зрения ОТО занимались многие авторы. Интерес к вопросу особенно усилился в последние годы, когда наряду с теоретическими исследованиями разрабатывались установки, предназначенные для практического обнаружения и генерации гравитационных волн. Современное состояние вопроса подробно изложено в монографии Д. Вебера [13].
Ниже рассматривается приближенное нестатическое решение уравнений поля, отвечающее плоским гравитационным волнам в вакууме.
Пусть метрика пространства-времени мало отличается от эвклидовой, вследствие чего МОЖНО принять gi$ = ot/ -f Hih где 6// — галилеевы значения компонент метрического тензора, соответству-240
Г лава VI. Основные следствия ОТО
ющие СТО, кц — малые поправки к ним. В главе V, п. 5 было показано, что при некотором выборе координат тензор Риччи в линейном приближении определяется формулой
k 1 IPhki д2Л? drf FhkA = ~2~ уЖ дх* ~ ~дф ~ ~dF J;