Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
dU •• dU - dU
тім = --^; тіУі = = --?*
где U — потенциальная энергия системы, обусловленная гравитационным притяжением между всеми ее частицами и заданная известной формулой
ті ___L V Уmtmi
2 tt г* •
Пользуясь этим законом движения, нетрудно показать, что величины
P1 = 2 ^iiXi; P2 = P3 = 2 Щгс,
? = m^ + U (W)
остаются при движении системы постоянными. Первые три из них представляют собой проекции вектора количества движения, последняя равна полной энергии системы.
В более общей форме, пригодной как в случае дискретного, так и непрерывного распределения масс, выражение для гравитацион- 232
Г лава VI. Основные следствия ОТО
ной энергии системы можно написать следующим образом:
U =--j-Jq>pdT, (6,9,2)
где р — объемная плотность массы, <р — гравитационный потенциал, dx — элемент объема.
Гравитационная энергия (6,9,2) принадлежит данной механической системе в целом, и вопрос о более точной локализации этой энергии или ее частей не имеет сколько-нибудь существенного значения. Во всяком случае, с точки зрения механики Ньютона энергию гравитационных взаимодействий не следует, вероятно, относить к полю тяготения как таковому, т. е. считать, что она принадлежит пространству, в котором проявляется гравитационное действие тел данной механической системы. В то же время количественная оценка величины (6,9,2) может быть выполнена путем интегрирования по всему пространству, в соответствии с чем имеется формальная возможность приписать эту величину полю гравитации и ввести понятие плотности энергии ПОЛЯ.
Учитывая уравнение Пуассона У2ф = — 4яур, можно переписать соотношение (6,9,2) в виде
^ = -SSrbvV*.
Если воспользоваться формулой векторного анализа div (ф grad ф) = (grad ф)2 + фу2ф,
то получится
U = -^r J div (ф grad ф) dx — -L- J f*dx%
где через f =grad ф обозначена напряженность поля тяготения.
Первый из интегралов правой части можно преобразовать по формуле Остроградского — Гаусса в поверхностный интеграл
J Ф (grad ф)лЛ5,
S
взятый по любой замкнутой поверхности, заключающей рассматриваемую механическую систему. Поскольку в (6,9,2) интегрировать можно по всему пространству, поверхность 5 можно отождествить со сферой бесконечно большого радиуса, вследствие чего (grad ф)„ = = 0. Поэтому
"--W W (6,9,3)
это и доказывает наше утверждение. Гравитационная энергия системы тел находится путем интегрирования квадрата напряженно- 9. Импульс и энергия поля гравитации
233
сти поля по всему пространству; величину — можно назвать
плотностью энергии ПОЛЯ.
Естественно поставить вопрос о том, можно ли ввести понятие импульса и энергии гравитационного поля в ОТО. При этом необходимо потребовать, чтобы эти определения позволили выполнить релятивистское обобщение законов сохранения механики Ньютона.
В СТО, где гравитационные взаимодействия не учитываются, релятивистское определение импульса и энергии механической системы имеет, согласно (5,4,6), следующий вид:
P1 = J 7?dx, (6,9,4)
где7І — смешанные компоненты тензора энергии-импульса, контравариантные компоненты которого находятся при помощи (5,4,2).
При і = 1, 2, 3 Pi определяют количество движения системы, P4 — полная масса (энергия) системы. Как уже отмечалось в главе V, п. 4, исчезновение дивергенции тензора энергии-импульса, т. е. условие
дТа
-Hr = O; (6,9,5)
дх
которое мы назвали законом сохранения этого тензора, обеспечивает постоянство каждой из величин (6,9,4).
В ОТО закон сохранения тензора энергии-импульса имеет более
сложную форму, требуя исчезновения его ковариантной дивергенции
Tf/a = 0; 1,...,4. (6,9,6)
Это условие уже не обеспечивает постоянства интегралов JT^dx. Таким образом, при учете гравитационных взаимодействий определение (6,9,4) оказывается непригодным, поскольку оно не удовлетворяет законам сохранения. В частности, интеграл не может служить мерой энергии механической системы в ОТО. Необходимо найти обобщение, которое обеспечивает выполнимость законов сохранения при римановой метрике пространственно-временного континуума и, в случае квадратической формы Минковского, переходит в интеграл (6,9,4).
Введем смешанный тензор второго порядка
Fki = Tl V^g (6,9,7)
и составим дивергенцию
dF? Я г-дТ* 234
Г лава VI. Основные следствия ОТО
Условие (6,9,6) в развернутой форме таково:
?fCL
-Іг + KfiTt - Ii-Tt = о.
дх
Если внести сюда соотношение
pa__1 dV-g
вытекающее из определения символа Кристофеля, то получится
dTf
1 д Y—S т® і ra TfP == -T^—ti + Ai?^a.
дха Y—g дх1
Следовательно,
дП FaflFe
Напишем символ Кристофеля в развернутой форме и выполним указанное в правой части равенства суммирование. После очевидного упрощения предыдущее соотношение примет следующий вид:
дх* ~ 2 g дх? Га> или, если воспользоваться тождеством
_arjte?v , - Vv _ о
8 дT + gfiv^f-0'
которое непосредственно вытекает из равенства gayg$y = бр,
dpT _ I р dg*
Введем теперь систему двухзначных величин ft, подчинив их уравнениям
