Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь в точке M имеются два вектора с компонентами, заданными в одной системе координатных векторов. Можно их сравнить, применяя правила тензорной алгебры. Разность этих векторов представляет собой также некоторый контравариантный вектор. Его называют ковариантным дифференциалом данного вектора и обозначают символом Dyi. Согласно этому определению, имеем
Dy1 ^dyt +Fia^dxa. (4,6,1)
Не будем останавливаться на формальном доказательстве тензорной природы величин Dy1. Его легко получить, составив выражение (4,6,1) в новой системе координат и воспользовавшись затем приведенными выше законами преобразования дифференциалов dy1 и символов Кристофеля.
Вместо (4,6,1) можно написать
^ = + (4,6,2)
Коэффициенты при дифференциалах в правой части (4,6,2) образуют систему п2 двухзначковых величин. Пользуясь правилами тензорной алгебры, нетрудно доказать, что эти величины являются компонентами смешанного тензора второго порядка, ковариантного относительно нижнего индекса a и контравариантного относительно 6. Ковариантное дифференцирование
105
индекса і. Этот тензор называют ковариантной производной данного вектора и обозначают-обычно символом Aot^ или у\а. Таким образом, по определению, имеем
Aa^ = У\а = + rU/. (4,6,3>
Если оператор D не изменяет строения тензора, то применение операции ковариантной производной увеличивает на единицу порядок ковариантности данного тензора.
Понятия ковариантного дифференциала и ковариантной производной, рассмотренные выше в применении к контравариантному вектору, обобщаются на случай тензора любого порядка и строения. Прежде всего необходимо определить операцию ковариантного дифференцирования для скалярной функции, которая рассматривается как тензор нулевого порядка. Если X — скаляр, то, поопределениюг допустим
DX — dX\ Xh=-g-, (4,6,4)»
т. е. примем, что ковариантное дифференцирование совпадает с обык-новенным. При этом производная Xli является ковариантным век-^ тором, называемым градиентом.
Повторяя прежние рассуждения, легко убедиться в том, что в-случае ковариантного вектора
Dyl = dyt - r?a*/?d*a; (4,6,5)
ду1 p?
Уі,а = IT ~~ іаУ*'
Для смешанного тензора третьего порядка имеем
DTi = dTk + ГU^dxa + ГUrfdxa - ГL^djca; (4,6,6)
Qfii
TiU = -4- + W + iV/f - їІатЦ.
дх
По аналогии нетрудно написать формулы для тензоров другого строения.
Ковариантное дифференцирование отвечает следующим свойствам, подобным хорошо известным теоремам обычного анализам
V, (Ai? + B't) = VlAik + ViBik;
(A1iBb)ll^A1iflBk +AiiB^h
Отметим еще переместительность ковариантного дифференцирования и рассмотренной ранее операции свертывания. Так, если АН — какой-либо смешанный тензор третьего порядка,. 106
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
то в выражении Л«// свертывание по индексу а и ковариантное дифференцирование можно выполнить в любом порядке; результатом обеих операций является один и тот же смешанный тензор второго порядка. Свертывание тензора можно осуществить и по индексу ковариантного дифференцирования. Если, в частности, составить ковариантную производную А[1 и, положив / = k — а, суммировать по индексу а, то получится некоторый контравариантный вектор. Свернутую таким образом производную вида А\? называют к о в а -риантной расходимостью данного тензора.
Ковариантную расходимость можно также образовать от смешанного тензора. Согласно определению ковариантной производной (4,6,6), расходимость смешанного тензора второго порядка равна
Па = + 1^7? - (4'6'7>
В качестве примера найдем ковариантную производную метрического тензора.
Имеем
8ч,k = -?- -1?/- Tbgai = - JBf-.- Гік,і - ГікЛ.
Поэтому, согласно (4,3,3), = 0.
Далее,
dtf
Теперь легко вычислить ковариантную производную контравариантного метрического тензора. Дифференцируя соотношение g(*gie = б/. получим + giBgie/k = 0, т. е. gjfgr/e = 0. Умножим это соотношение на gil. Найдем
Ковариантные производные (а следовательно, и ковариантные дифференциалы) тензоров gin б/, g*' имеют нулевые значения. Эта особенность метрического тензора в несколько иной форме отмечалась при рассмотрении параллельного переноса. Как было показано, поле метрического тензора является результатом параллельного переноса этого тензора из какой-либо одной точки во все другие точки пространства.
Метрический тензор играет в тензорном анализе роль постоянной. Поэтому при ковариантном дифференцировании произведения его можно вынести за знак дифференцирования. Так, Vi (gjkA1™) =
= gikvAm- 7. Кривые в пространстве Римана
107
7. Кривые в пространстве Римана. Рассмотрим непрерывную линию, заданную параметрическими уравнениями Xі = Xі (s), в которых параметром son ужит длина дуги линии. В дифференциальной геометрии уравнения кривой в этой форме принято называть естественными. Пусть точка M кривой имеет радиус-век-тор г = г (л:1, ..., хп). Образуем производную
dr __ дг dxa а
ds ~~ дха ds ~ аУ '
dxa
где е« — координатные векторы, у06 = --контравариантные
компоненты вектора направленного по касательной к кривой. Образуем скалярное произведение
