Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотренные особенности тензора Римана — Кристофеля выражают ряд тождественных соотношений между его компонентами. Наличие таких соотношений показывает, что все компоненты этого тензора (их общее число равно /г4) не могут быть заданы произвольно. В связи с этим естественно возникает вопрос о числе существенных компонент, т. е. таких, которые можно задать произвольно, выражая через них все остальные компоненты. Принимая во внимание все тождественные соотношения, можно показать,, что число существенных компонент тензора кривизны в общем случае
составляет л2 (п2 — 1). При п = 2 оно равно единице, а при п =
= 4 — двадцати.
Очень важным свойством тензора кривизны Римана — Кристофеля является тождество Бианки — Падова.
Согласно общему определению (4,6,6), ковариантная производная тензора кривизны определяется формулой
KtiMi = -?г Rum + ГTfiRtiM - TflRl-M -
-rf^.-rf^.?. (4,8,7)
Первый член правой части в развернутой форме равен
Л*
дх1дх* дх'дх1 дх1
+ -ZJ Г% — r&F/?). (4,8,8)
В любой произвольно выбранной точке пространства Римана, как было показано, можно построить геодезическую систему координат, в которой символы Кристофеля в указанной точке принимают нулевые значения.
Выполним преобразование, перейдя от общих координат к геодезическим в данной точке пространства. В формуле (4,8,7) при таком преобразовании исчезнут все члены, кроме первого, находимого
8 А, Ф. Богородский 114
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
из (4,8,8). Следовательно, в геодезических координатах выражение для ковариантной производной тензора кривизны примет вид
na ,_J!U_ Wft ,48оч
^''"WW (4,8'9)
В этом соотношении выполним круговую подстановку значков /, /, т. е. двух первых индексов ковариантности и индекса ковариантного дифференцирования. Полученные таким образом величины Rfltk. J1, Rut-H сложим с (4,8,9):
A/V/I + Rh-a + BSijk. п = 0. (4,8,10)
Равенство (4,8,10) найдено в геодезических координатах. Однако, будучи тензорным, оно выполняется во всех системах координат и является поэтому вполне общим. Это соотношение и носит название тождества Бианки — Падова.
Легко видеть, что соотношение (4,8,10) сохраняет свою форму и для ковариантных компонент тензора кривизны, в чем можно убедиться, опуская индекс согласно (4,8,6).
Подробное исследование тензора Римана — Кристофеля и выяснение его геометрического значения не входит в нашу задачу; ограничимся перечислением лишь необходимых формальных его свойств. В заключение только заметим, что тензор кривизны позволяет формулировать общий признак вырождения римановой геометрии в эвклидову.
Как было указано ранее, квадратическая форма (4,4,1) отвечает геометрии Эвклида в том и только в том случае, если существует система координат, в которой все компоненты метрического тензора приводятся к постоянным.
Допустим, что это условие выполнено. Перейдя к указанной
системе координат, мы получим = 0 и Гц = 0 во всех точках
дх
пространства. Следовательно, согласно (4,8,2), Rfjtk. = 0. Поскольку это равенство является тензорным, оно выполняется при переходе от нашей специальной (декартовой) системы координат к общей. Это значит, что в любых координатах уравнение Rflfk. = 0 представляет собой необходимый признак превращения геометрии Римана в геометрию Эвклида.
Доказательство достаточности признака значительно сложнее, и потому мы его здесь не приводим.
Итак, равенство Rff,k. = 0 служит необходимым и достаточным признаком вырождения римановой геометрии в эвклидову.
% Тензор Риччи. Переходим к рассмотрению тензора второго лоряд^а, имеющего важное значение в ОТО. 9. Тензор Риччи
115
В компонентах тензора Римана — Кристофеля
+ ГЙПЬ
положим k = а и выполним свертывание.
Полученный таким образом ковариантный тензор второго порядка
дГа дГа
RSi.,. = R11 = - + Г^ГГз - 1?,?, (4.9,1)
который составлен из компонент метрического тензора и их производных первых двух порядков, называется тензором Риччи.
Приведем выражение (4,9,1) к виду, во многих приложениях более удобному. Составим сумму Согласно определению символов Кристофеля, имеем
Vа - 1 ff«? ( dgg? dgj? dSia \ 1 a? ^a? la? " 2 8 \ dxi + дя* " dj? ) ~ 2 8 dx< '
Образуем далее производную по координате от определителя g = IgliI, элементами которого служат ковариантные компоненты метрического тензора. Выполнив дифференцирование, получим
dg _ dg ^g? ^ a? ^a? дх1 <^a? дх1 дх1
Следовательно,
pa _ 1 dg __ d In Yg . Q m
Вместо (4,9,1) можно написать
П _ У In Kg pa а In /І par? lL Q a*
- --П + ^^ - IF • (4 Д 3)
Формулы (4,9,1) и (4,9,3) определяют ковариантные компоненты тензора Риччи, Однако этот тензор можно также задать смешанными или контравариантными компонентами, вычисляя их путем соответствующего поднятия индексов. Смешанные компоненты находятся по формулам R1i = gaiRah а контравариантные — с помощью соотношений Rii = = gatg^Ra&- Скаляр рассматриваемого тензора вычисляется ПОЛНЫМ свертыванием R = Ra= g^Rafi = gafiR"^-
