Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому
и т. п.
rj4" дх1' дхї дх* ^wz
Такой же результат получается при непосредственном переходе от координат Xі к координатам х".
Из рассмотренного свойства вытекает заключение о сохранении тензорных уравнений.
Допустим, что в какой-либо системе координат установлено равенство двух тензоров: Tfk = L^. Перейдя к новой системе, вычислим компоненты Tfk* и L/V по известным формулам преобразования. Убедившись в том, что новые компоненты выражаются через старые с помощью одинаковых соотношений, найдем Tfa = Ly-V-Таким образом, тензорное уравнение, полученное в одной системе координат, выполняется во всех других системах. Это свойство тензорных уравнений имеет в ОТО фундаментальное значение.
Перечислим основные операции тензорной алгебры.
Пусть А1J и BtJ — тензоры одинакового строения. Основываясь на определении тензора, легко видеть, что совокупность величин Cfe = Ak + В}/ является тензором того же порядка и строения. Эта операция, называемая сложением тензоров, инвариантна относительно общего преобразования координат. 3. Параллельный перенос тензора
89
Если Л/ и Bikm — тензоры, то С{1т = AijBim — также тензор, порядки ко- и контравариантности которого равны суммам соответствующих порядков двух первых тензоров. Эта операция носит название умножения тензоров; она также инвариантна относительно общего преобразования координат.
Рассмотрим какой-либо смешанный тензор Atki. Выделим компоненты, у которых один из индексов ковариантности совпадает с одним из индексов контравариантности, и составим их сумму
AtZ = AHl + ... +AikI
Нетрудно показать, что совокупность величин A1ka является тензором, у которого порядки ко- и контравариантности на единицу ниже, чем у исходного тензора. В данном случае Л*« представляет собой смешанный тензор второго порядка — ковариантный относительно индекса k и контравариантный относительно і. Эта операция называется свертыванием. Если порядки ко- и контравариантности одинаковы, то можно выполнить полное свертывание, результатом которого является скаляр, или инвариант, данного тензора. Так, двойная сумма служит инвариантом тензора A1Ji. В качестве простого примера имеем 62 = п.
Несколько более сложным примером является свертывание произведения gtIgki. Имеем giagka = б? (см. формулу (4,1,12)), ga?g0^ = = 6I = п.
Сочетание умножения и свертывания позволяет осуществить особые операции, называемые поднятием и опусканием индексов.
Пусть Ацк — ковариантный тензор третьего порядка.,Составим произведение Aiiagk^ и, положив a = ?, выполним свертывание. Полученный таким образом тензор Ai/agka имеет второй порядок ковариантности и первый порядок контравариантности. Его обозначают обыкновенно символом АІі; один из индексов оказался поднятым.
Аналогично, умножив тензор Blik на glm и произведя затем свертывание, можно образовать тензор Bt опустив один из индексов исходного тензора. Это дает возможность изменять строение тензоров: по заданным ковариантным компонентам вычислять смешанные или контравариантные компоненты и наоборот. В частности, символы Кронекера можно рассматривать как результат поднятия одного из индексов ковариантного метрического тензора или как результат опускания одного индекса контравариантного тензора.
3. Параллельный перенос тензора. При задании двух тензоров одинакового строения в оджій точке пространства вопрос об их равенстве или неравенстве не требует особого исследования и решается путем непосредственного сравнения компонент. Тензоры считаются 90
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
равными, если их соответствующие компоненты одинаковы. Если же тензоры заданы в различных точках пространства, то при употреблении криволинейных координат вопрос об их равенстве или неравенстве усложняется.
Пусть, например, в точках M1 (х\) и Af2 (лгг) заданы векторы с контравариантными компонентами у\ и уі соответственно. Поскольку координатные векторы в указанных точках различны, непосредственное сравнение компонент не может служить признаком равенства или неравенства векторов. Предварительно необходимо ввести в одной из точек местную систему координат, выбрав ее так, чтобы координатные векторы этой системы совпали с координатными векторами в другой точке. Если при этом соответственные компоненты рассматриваемых векторов окажутся одинаковыми, то и сами векторы равны. Такое определение равенства применимо для тензоров любого порядка и строения. Если два тензора одинакового строения, заданные в различных точках пространства, отвечают этому определению, то их называют равными; каждый из них представляет собой результат параллельного переноса тензора из одной точки в другую. Для выяснения равенства или неравенства тензоров, заданных в различных точках, нет необходимости в фактическом выборе местной системы координат. Имеется возможность найти в общем виде закон изменения компонент тензора при его параллельном переносе из одной точки пространства в другую.
Рассмотрим прежде всего вопрос о бесконечно малом параллельном переносе контравариантного вектора. Пусть вектор у1 задан в точке M(Xi). Требуется определить, какие приращения при-обретут компоненты этого вектора при его параллельном переносе в точку Mt (х1 + dx1).
