Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
В точке M координатные направления определяются единичными
векторами е, = где г — радиус-вектор точки M относительно произвольно выбранного начала. При переходе к точке ЛҐ координатные векторы изменяются на de, = -^?- (Ixa = ^r „ dx*. Be-
' дха дхідха
величина —tT представляет собой вектор, симметричный относительно дх1
индексов і, /. Разложив его на составляющие, направленные вдоль
координатных линий, можно написать = Tfjeai где Tfj— коэф-
дх1
фициенты разложения, отвечающие условию симметрии Tfj = Г®.
Для определения этих коэффициентов дифференцируем известное соотношение gti = (e/t Є/): 3. Параллельный перенос тензора
91
Умножив равенство —^ = TfiZa скалярно на вектор eA, получим дх1
("0" >ел) = Г" (ea,efe) = gakTfh Введя обозначение
gakl?!= Ttiji (4,3,2)
и выполнив соответствующую перестановку индексов, найдем
(-5-..,)-Г,.,
Поэтому (4,3,1) можно переписать так:
= (4,3,3)
дх*
С ПОМОЩЬЮ ЭТОГО соотношения нетрудно найти Tiitki после чего искомые коэффициенты Г?/ вычисляются на основании (4,3,2).
Круговая перестановка индексов в (4,3,3) позволяет составить
выражения для производных и Вычтя из суммы этих про-
дх1 дх1 изводных величину (4,3,3), получим
г 1 / Kik , *8,k dSii \
1= t\1J + -' (4Д4)
Для вычисления коэффициентов Г// напишем (4,3,2) в виде ?арГ?/ = г,/.а. Умножив это равенствона^ и просуммировав по а, найдем
ga$gakT?i = oSrf, = gak Tiitat откуда непосредственно следует
Г?, (4,3.5)
Величины Tiitk и Tkii называются символами К р и -стофел я первого и второго рода соответственно. Они симметричны относительно индексов i, / и являются однородными линейными функциями производных от компонент метрического тензора по координатам. Не будучи тензорами, символы Кристофеля входят во многие формулы тензорного анализа.
Возвращаемся к задаче о параллельном переносе вектора.
Воспользовавшись разложением = rfae?, можно представить
дха
приращение вектора в виде de( = Tf^dx*. Таким образом, координатные векторы в точках M и Af' соответственно равны е, и 92
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
С/ + Tiafifidxa. Как известно, вектор равен сумме произведений его контравариантных составляющих на единичные векторы координатных направлений (рис. 13). Поскольку составляющие в точках M9 M9 соответственно равны у* и у1 + dyl, то условие параллельного переноса выражается уравнением
е,*/ = (е, + Tfofifrdxa) (у1 + dy1).
С точностью до бесконечно малых первого порядка имеем
yt -y'+dy ГЦWdxa + ^idyi = О,
или
(rl?#adx? + dy) е, = О,
откуда, ввиду произвольности Puc i? системы координатных векто-
ров, следует
dy1 = - ГaWadx\ (4,3,6)
Эта формула и определяет приращение контравариантных компонент при параллельном переносе вектора в бесконечно близкую точку.
Выясним, как при параллельном переносе изменяются ковариантные компоненты вектора.
В точке M эти компоненты определяются, как мы знаем, формулами yt = (у, et). В точке Mt значение ковариантной компоненты Уі + dyt равно скалярному произведению вектора у на координатный вектор е, + Tfofifidxa. Следовательно,
У і + dyt = (у, et) + Ifa (у, e?) dxa9
или
dyt = Tlyfidxa. (4,3,7)
Найденные законы изменения ко- и контравариантных компонент при параллельном переносе вектора легко обобщаются на случай тензора любого строения. Так, при переносе в бесконечно близкую точку смешанного тензора третьего порядка его компоненты приобретают приращения
dX)k = - ГUxldxa + TfaXUdxa + TLxlifidxa. (4,3,8)
Приложим операцию параллельного переноса к метрическому тензору.
Пусть в пространстве задано поле тензора ga. Если в точке M (Xа) компоненты этого тензора равны glh то в точке Mt (Xа + dxa) они 3. Параллельный перенос тензора
93
определяются формулами g-,, + dgiit где dgif = dxПроизведем
дх
параллельный перенос тензора из точки Af в точку M'. Приращения компонент, обусловленные этим переносом, обозначим через Agif-. Согласно общей формуле (4,3,8), имеем
Aglj = rfag/3 dxa + Г?оg#dxa.
Воспользовавшись (4,3,5), заменим символы Кристофеля второго рода символами первого рода.
A ga = (gffig*yrla.v + ff/?/HVv) dxa = = (6)T/a.v + o?r/a.v) dxa = (Tte./ + r/a.,)dxa.
Согласно (4,3,3), искомое приращение оказывается равным
Agli = -^dxa ^dglh
совпадая с дифференциалом, обусловленным различием координат в точках Mt Mt Это значит, что поле метрического тензора можно рассматривать как результат параллельного переноса этого тензора из какой-либо одной точки во все другие точки пространства.
Нетрудно убедиться в том, что такой же особенностью обладают тензоры gi{ и б/. Так, приращение смешанного тензора б/, вызванного его параллельным переносом, равно
Дб', = — ҐаРб Uxa + Tfabdxa = О,
что совпадает с дифференциалом этого тензора, имеющего одинаковые значения компонент во всех точках пространства.
Мы рассмотрели задачу о параллельном переносе тензора в бесконечно близкую точку. Остается указать, каким образом можно осуществить параллельный перенос на конечное расстояние.
