Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
dr dr . V а ? „ dxa djfi
ЧГ> TT = У =^lTir-
Элемент ds дуги кривой определяется основной квадратической формой (4,4,1); поэтому J-^-J = 1. Контр авар и антный вектор у1 является единичным вектором касательной.
Пусть M (Xа) и M' (Xа + dxа)—две бесконечно близкие точки линии, отделенные дугой ds. Касательный вектор имеет в этих точках компоненты у1 и у1 + dyl соответственно. Перенесем вектор у* + dy1 из точки M' параллельно в точку М. Согласно определению ковариантного дифференциала, компоненты вектора в результате указанного переноса будут равны у1 + Dyi. В точке M имеются теперь два вектора, угол между которыми называется углом смежности. Разность этих векторов по модулю составляет \Dy*\ =
= I^l do = d0. Следовательно,
геометрии производная от угла смежности по дуге называется геодезической кривизной линии в данной точке.
Найдем направление вектора
Из определения ковариантного дифференциала непосредственно следует, что этот вектор расположен в соприкасающейся плоскости
кривой в данной точке. Угол ф, образованный вектором с касательным вектором, определяется формулой (4,4,3), которая принимает в данном случае вид
COS ф = --й— .
IyaI-HV4I
= ® Дифференциальной 108
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
Дифференцируя соотношение ga?^0^= 1, получим Dgafiya-Ifb + + ga$Dya'yb + ga^Dy^ = 0 или ga^Dyt = 0, так как первый член исчезает по условию Dga^ = 0, а два другие отличаются только обозначением индексов суммирования. Поэтому <р = 90°.
Итак, вектор , равный по абсолютному значению геодезической кривизне, направлен вдоль главной нормали к линии в данной точке. Этот контравариантный вектор называют вектором кривизны. Согласно (4,6,1), имеем
Dyi (Pxi ы dxa dx* fA - и
Большой интерес представляют линии, во всех точках которых вектор кривизны равен нулю. Такие линии называются геодезическими. Уравнения геодезической линии таковы:
ы dxa dxP Л 79.
В общем случае это сложная система дифференциальных уравнений второго порядка, для интегрирования которой необходимы соответствующие начальные условия. Последние можно задать вфор-
, і dx1 Idxi \ т „ dx1
ме Xі = X0l = I 1 при S = s0. Так как касательный вектор
является единичным, он должен удовлетворять соотношению / dxa dx*\
Igap — І = 1; в остальном он может иметь в точке S0 произвольное значение.
Поскольку при указанных начальных условиях решение системы (4,7,2) является единственным, мы приходим к заключению о том, что через каждую точку пространства в каждом произвольно заданном направлении можно провести одну и только одну геодезическую линию.
Понятие геодезической линии имеет в дальнейшем очень важное значение. Поэтому мы рассмотрим его также с другой точки зрения.
Пусть в пространстве заданы две какие-либо точки х*Х) и х®2). Найдем кратчайшую из линий, соединяющих эти точки, предполагая, что такая линия существует.
Условие, которому отвечает кратчайшая линия, имеет вид
(2)
б J rfs = 0. (4,7,3)
<п 7 Кривые в пространстве Римана
109
Воспользовавшись квадратической формой (4,4,1), представим это условие в форме
(2)
(!)
приведя поставленный вопрос к основной вариационной задаче. Из вариационного исчисления известно, что интеграл
<2)
( F (/, л:1, ... Xrt;*1, ... хп) dt имеет экстремальное значение в том (!)
случае, если функции tf = xl (t) удовлетворяют уравнениям Эйлера — Лагранжа
дР d dF п . .
—;----J7-г— = 0, I = 1, ... П.
дх* dt дх* Составим эти уравнения для нашей задачи. Имеем
/ dxa dxP\ d j д Ifr dxa dx* \\ n /Aтл^ dxa dx*
Выделяя в сумме ga& члены, зависящие от фиксирован-
д
дх*
ного индекса можно написать
dxa dx* _ о- / dx* \2 . ~ dxa dxl . „ dxa dx1
+ 2gia^dTST +ga*~Ts—Ts a+1 a.3+i
Поэтому
д ( dxa dx?\ 0„ dx1 . - dxa - dxa
^r ST ST = 2g" ~dT + 2g^ ST = 2gia Ts
д ( dxa dx?\ „„ dx1 . - dxa -ЇГ\8<# ~ds ds~J ~ 2&< ~ds~ + 2g'°ST = 2^
а фі
Выполнив дифференцирование полученного равенства, найдем
_d__d_ (а dxa djfi\ _ Q dSia dxa dx* Q (Pxa _ ds dxi \ga? ds ds ) ads ds + Zgia —
_ ( dSjq , dSifi \ dxa dx* 9 <Pxa \djfi + ~di?J ds ST + zgia •
Уравнение (4,7,4) в развернутой форме примет вид
I dSqfi dSia dxa dx* (Pxa _A
\ дх* дх* дха) ds ds Lgia ds*
т. е.
л (Pxa , р dxa dx* n
где ra?t/ — символ Кристофеля первого рода (4,3,4). 110
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
Умножим это соотношение Hagt4j и произведем свертывание по индексу і. Окончательно получим систему уравнений
(Рх° Го dxЛ dx* _ Л
ds2 la?~dT* "dT" ~~U'
совпадающую с (4,7,2).
Таким образом, если в пространстве Римана существуют кратчайшие линии, то они совпадают с геодезическими, т. е. с линиями нулевой кривизны.
Представим уравнения геодезической линии в несколько иной форме, которая будет полезна в дальнейшем.
Уравнения (4,7,2) определяют координаты х\ ... хп как функции длины дуги s. Одну из этих функций можно обратить, выразив длину дуги через соответствующую координату, например, через последнюю хп. Остальные п — 1 координат можно будет тогда рассматривать как функции хп.
