Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богородский А.Ф. -> "Всемирное тяготение" -> 35

Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.

Богородский А.Ф. Всемирное тяготение — К.: Наук. думка, 1971. — 354 c.
Скачать (прямая ссылка): vsemirnoetyagotenie1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 125 >> Следующая


gti(xk + dxk)=gli+^Ldxa +

+

1

2 дхадхї

dxadx* +

(4,5,1) 96

Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана

В правой части значения компонент и их производных относятся к точке М; индексы/, / являются фиксированными; суммируют по а и р.

В первом приближении, сохраняя в правой части (4,5,1) лишь конечную величину, имеем gij (Xft -f (Ixk) = gif. Это значит, что для всех точек рассматриваемой окрестности принимаются одинаковые значения компонент метрического тензора: бесконечно малая область пространства Римана отождествляется с эвклидовым пространством, которое называется касательным по отношению к риманову пространству в данной точке.

Понятие касательного пространства Эвклида во многих случаях оказывается полезным. Однако оно пригодно при изучении лишь наиболее простых свойств геометрии Римана, но совершенно недостаточно в тех случаях, когда нас интересуют более тонкие свойства, зависящие от производных метрического тензора по координатам. Более эффективным средством исследования римановых пространств является понятие соприкасающегося пространства Эвклида.

Удерживая в правой части (4,5,1) члены первого порядка относительно дифференциалов координат, можно написать

Su (** + dxk) = ga+^L dx«. (4,5,2)

В этом разложении gtj и имеют для рассматриваемой бесконечно малой области постоянные значения, соответствующие точке М. Покажем, что в данном приближении, которое мы будем называть вторым, эту область пространства Римана также можно представить некоторым пространством Эвклида.

Предварительно рассмотрим вопрос о преобразовании производных при переходе к новой системе координат. дхк

Значения компонент метрического тензора в системе координат хУ находят по известной формуле

dxCL дх* (А * Q\

Дифференцируя это соотношение, получаем

dg,'/' _ дгха дх^ дха

дх*' ~ дхі'дхї дхі' Brt + dxrdxk- g-o? +

, ь* ^ap (4,5,4)

дх1' дх*' дх*' дху 5. Соприкасающееся пространство Эвклида '100

В новой системе координат производные ковариантных компонент являются линейными однородными функциями от компонент.и их первых производных в старой системе.

Допустим, что в старой системе координат задано поле тензора Gih отличное от поля gijt но удовлетворяющее в точке M условиям

Применяя преобразования (4,5,3) и (4,5,4) к тензорам g(i и Glj

OGi / :t

в точке M и учитывая равенства (4,5,5), находим Grr - grr, —тг =

дхг

= -?^. Таким образом, соотношения (4,5,5), имеющие место в ка-дхг

кой-либо точке пространства в одной системе координат, выполняются в этой точке во всех системах координат.

Составим далее закОн преобразования символов Кристофеля. Круговая перестановка фиксированных значков Г, /', k' позволяет написать формулу (4,5,4) в двух следующих вариантах:

dSrk* _ д2х* дх* , дх* д*х*

"дТ"" dS'dx*' ^ + "a/W"^'1' дха дх** дху ^gpv дх1' дх'" дх*' дха ' dZrk' _ Fxa дх* t дха дРх* „

ИТ - д^'дхг дх*' ga*+ IT ga*+

+ дх* дх* дхУ dSqy

дх1' дхг дх*' дх*

В последних членах правой части мы изменили обозначение индексов суммирования, чтобы сохранить форму первых трех множителей.

Сложим написанные равенства и из полученной суммы вычтем (4,5,4). После очевидных упрощений найдем

dSrk' , dSrk• dSrr _ о дх* п ,

-JT + -J? JT - -^r +

t дх* дх* дх* ( dSq4 . jfe?v. ^аз \

+ д*Г дх'' дх*' \ дх* d^ дх* ) •

или

г д*х* дх* , дх* дх* дх* г

1 - W ga*+ ITITIT1

где ra?tV— символы Кристофеля пертого рода (4,3,4).

7 А. Ф. Богородский 98

Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана

Для перехода к символам второго рода воспользуемся соотношением (4,3,5). С этой целью умножим найденное равенство на

kW д?' dxf' eo

s дх6 дхъ 6

и выполним свертывание по индексу ft'. В левой части, согласно определению (4,3,5), получится символ Кристофеля второго рода Г,-*'/*. Для упрощения первого члена правой части необходимо при-

нять во внимание соотношение

дх*' дх*

и, далее,

дх? д?' ей Зв

g = S



дхъ дха

Во втором члене имеется множитель

дх*_ дх*' eo _ ve dxk' dx*g •

После упрощений получим

р/' д2ха дхv . дха дх? дх1' ре ,, с лЧ

Г|Г " ¦+1?7" ISrSF 1^' (4'5'6)

Это и есть искомый закон преобразования символов Кристофеля. Он показывает,в частности,что эти символы не являются тензорами, поскольку первый член правой части (4,5,6) нарушает закон тензорного преобразования.

Для дальнейшего полезно несколько изменить соотношение (4,5,6).

Умножим его на производную -^7- и суммируем по индексу /'. В пра-

дхг

вой части при свертывании появятся множители и Поэтому закон преобразования примет вид

дх! W' д*х* дх" дх* г/ , -7

Ґгг " SFaF + IFlFr^ (4'5'7)

Возвращаемся к исследованию пространства Римана в окрестности точки М.

Во избежание недоразумений обозначим координаты этой точки через Xi0. Преобразуем координаты

X1 =X10 + Xr--L гил3'. (4,5,8) 5. Соприкасающееся пространство Эвклида

'99

Штрихи у индексов координат, как и прежде, указывают на принадлежность их к новой системе. Фиксированные индексы I9 і' принимаются одинаковыми. Значения символов Кристофеля взяты в старой системе координат и отнесены к точке M; в формулах преобразования (4,5,8) они играют роль постоянных коэффициентов.
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed