Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим некоторые особенности тензора Риччи.
Учитывая свойства симметрии и антисимметрии тензора Римана — Кристофеля, выполним преобразорание
Rii = ga* RaiJfi = ga?#/?*ax = g^ RfiiJa = Rji9
8* 116
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
убедившись в том, что тензор Риччи симметричен относительно индексов ковариантности.
В частности, отсюда непосредственно следует, что число существенных компонент тензора Риччи равно (п + 1). При п = 2
он имеет только три существенные компоненты, а при п = 4 их число достигает десяти.
Составим ковариантную дивергенцию тензора Риччи.
Напишем тождество Бианки — Падова для ковариантных компонент тензора кривизны:
Rafi.yofi + Rfii.yofa + Ria .yoffi = 0.
Умножив это равенство на произведение g^g^, выполним свертывание по всем повторяющимся индексам. Принимая во внимание соотношения
SaYyRfH.* = - = - ЯЬ
g°*g*yRia.y6 = - g^Rai.y* = - Rl получим Rjl — Rffa — Rfffi = о, т. е.
Rffa= 4 /?,*. (4.9,4)
Это важное уравнение показывает, что ковариантная расходимость тензора Риччи равна половине градиента инварианта этого тензора.
В заключение образуем тензор Eii = Rii--^giiRy который
непосредственно применяется в общей теории относительности и играет в ней очень важную роль. Этот тензор, введенный Эйнштейном при составлении уравнений поля,, уместно назвать тензором Эйнштейна. Его компоненты, как и составляющие тензора Римана — Кристофеля, выражены через компоненты метрического тензора и их производные по координатам первого и второго порядков.
С помощью смешанных компонент тензора Эйнштейна Eii = = Rj--Y бjR составим его ковариантную расходимость. Пользуясь уравнением (4,9,4), найдем
Effa = Ktfa - 4" = 0. (4,9,5)
Тензор Эйнштейна имеет исчезающую ковариантную расходимость. 10. Кривизна пространства Римана
117
10. Кривизна пространства Римана. Пусть в точке M (Xа) ри-манова пространства заданы контравариантные единичные векторы у1 и образующие между собой прямой угол. По условию, эти векторы удовлетворяют соотношениям
Wif = 1; Wze = I: Wzp = O. (4,10.1)
Согласно правилам тензорной алгебры, величины
Xii =-LiyiZi-VfZi) (4,10,2)
являются компонентами контравариантного тензора второго порядка. Этот тензор, антисимметричный относительно индексов контравариантности, принято называть бивектором.
Можно показать, что бивектор (4,10,2) однозначно определяет плоскость Р, в которой расположены векторы tf, а также площадь образованного ими параллелограмма.
Проведем через точку M замкнутый контур, расположенный в плоскости P9 и определим направление обхода этого контура поворотом от вектора у1 к вектору г*. Перенесем вектор г/ параллельно вдоль указанного контура до возвращения в точку М. В результате этой операции получим некоторый вектор у1 + Ayit где Ду1 — приращение, которое должно быть вычислено по закону параллельного переноса.
Вектор у1 + А у1 отличается от исходного вектора у1 как по модулю, так и по направлению; он вообще не будет лежать в плоскости P. Составим проекцию вектора у1 + Ayi на плоскость Р; она образует с исходным вектором у1 некоторый угол Дф, который мы условимся считать положительным в направлении установленного обхода.
Составим далее отношение где Да — площадь, ограниченная
построенным контуром, и перейдем к пределу, стягивая контур к точке М. Этот предел называется кривизной риманова пространства в данной точке и в направлении данной плоскости.
В геометрии Римана выводится формула
Iim -?-=(4,10,3)
определяющая кривизну пространства в данной точке и в направлении плоскости, характеризуемой бивектором xli.
Исчезновение тензора Римана — Кристофеля, как было сказано, служит необходимым и достаточным условием вырождения римановой геометрии в эвклидову. Поэтому из (4,10,3) следует, что кривизна имеет нулевое значение в том и только в том случае, если 118
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
геометрия пространства является эвклидовой. Иными словами, пространство Эвклида есть пространство Римана нулевой кривизны.
Рассмотрим случай, когда тензор Римана — Кристофеля имеет
вид
RiiM = К (іUikgu — giigik)» (4, Ю,4)
где К — какая-либо скалярная функция координат.
Внесем это соотношение, а также равенство (4,10,2) в общую формулу (4,10,3). Выполнив необходимые преобразования и учитывая условия (4,10,1), получим
Rafi.yo*^^v0 = К-
Это значит, что в случае (4,10,4) кривизна пространства в данной точке не зависит от ориентировки плоскости и может быть функцией только координат точки. Такое пространство называется пространством постоянной кривизны: в каждой его точке кривизны одинаковы во всех двумерных направлениях.
Выполняется и обратное предложение: если кривизна в каждой точке пространства Римана в направлении любой плоскости равна одной и той же скалярной функции K9 то тензор Римана — Кристофеля имеет вид (4,10,4). Для доказательства этого предложения требуются более сложные алгебраические преобразования, которые мы опускаем.
Указанное определение пространства постоянной кривизны требует, чтобы в данной точке кривизна не зависела от ориентировки плоскости. Однако в этом определении нет явных условий о кривизнах в различных точках, вследствие чего вопрос о виде скалярной функции К остается открытым. Решение этого вопроса содержится втеореме Шура, утверждающей, что в пространстве постоянной кривизны с числом измерений /г > 2 во всех точках кривизны одинаковы. Это значит, что риманово пространство, изотропное во всех точках, является однородным.
