Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Новые координаты имеют в точке M нулевые значения, поскольку при Xі = Xo соотношение (4,5,8) дает Jct'' = -і- Ґа*рґ*'хР'.
Дифференцируя (4,5,8) последовательно по координатам Xk', получим
дх* яг W оь'. pi
- = o,< — Гі'а'Х ; , ,.и. = — 1 /'*'.
дхГ ~ ' dxl'dJ*
Следовательно, в точке M
Ш-'Ч^Я--1*-
Применим теперь к той же точке общую формулу (4,5,6). Принимая во внимание (4,5,9), находим rj</< = 0.
Нетрудно убедиться в том, что при исчезновении символов Кристофеля производные от компонент метрического тензора по координатам также исчезают. Действительно, умножая (4,3,5) на gkl и свертывая Затем ПО ИНДекСу kt ПОЛУЧИМ Соотношение Гifj = ft/Г?/, с помощью которого символы Кристофеля первого рода выражаются через символы второго рода. При Г*/ = 0 будет Г*/,* = 0, а следовательно, и = 0, как это непосредственно вытекает из (4,3,3). дхг
Итак, мы доказали существование системы координат, в которой
dgfj
символы Кристофеля, а следовательно, и производные —? прини-
дх
мают в данной точке нулевые значения. Такая система носит название геодезической. Важно отметить, что хотя преобразование координат, приводящее к геодезической системе, не является единственным, но оно существенно зависит от выбранной точки. Поэтому система координат, геодезическая в какой-либо одной точке, вообще не будет геодезической для другой произвольно выбранной точки.
Пусть поле метрического тензора gti отвечает геометрии Римана. Выберем определенную точку M (Xi0) и построим геодезическую систему координат; в указанной точке имеем gtj = (&/)0, (-?) = 0.
\ дх I о
Пусть далее Gii — метрический тензор, отвечающий геометрии Эвклида. Для всего пространства можно положить Gij = const = 7* 100
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
OUfi
= (?,/)0 и, следовательно,-^ = 0. Таким образом, в данной точке
эвклидова и риманова метрики связаны условиями (4,5,5). Однако выше мы видели, что если эти условия имеют место в одной системе координат, то они выполняются в данной точке во всех системах* dg;:
когда производные —? вообще отличны от нуля. Это значит, что
дхг
для каждой точки пространства Римана имеется возможность построить пространство Эвклида, метрический тензор которого удовлетворяет соотношениям (4,5,5). Такое пространство Эвклида называется соприкасающимся.
При исследовании бесконечно малой окрестности какой-либо точки пространства Римана во втором приближении, как мы виде-
dgis
ли, можно пользоваться разложением (4,5,2), в котором ga и
имеют для этой области постоянные значения, отвечающие указан-
„ л dGu
ной точке. Поскольку они равны эвклидовым величинам Gii и —~ ,
дхг
во втором приближении риманова метрика совпадает в рассматриваемой области с соприкасающейся эвклидовой метрикой. Благодаря этому совпадению в геометрию Римана переходят все определения эвклидовой геометрии, связанные с метрическим тензором и его первыми производными по координатам В частности, бесконечно малый параллельный перенос тензора в пространстве Римана формально можно определить как бесконечно малый перенос в соприкасающемся пространстве Эвклида. Общая формула (4,3,8) для приращения тензора при параллельном переносе в бесконечно близкую точку сохраняет значение и в римановой геометрии. Что же касается конечного параллельного переноса тензора, то, в случае римановой геометрии, его результат, в отличие от геометрии Эвклида, зависит не только от начальной и конечной точек, но также от линии переноса. Поэтому при параллельном переносе тензора в пространстве Римана должен быть указан путь переноса.
Введем понятие о пространстве Эвклида, соприкасающемсях ри-мановым пространством вдоль линии.
Пусть в n-мерном пространстве Римана с координатами и1, метрическим тензором gu и соответствующим ему символом Кристофеля Г,7 имеется линия, заданная уравнениями вида и1 = и1 (/). Введем пространство Эвклида того же числа измерений с метрическим тензором qlft символами Кристофеля /? и координатами X1t которые оставим пока неопределенными. Уравнения Xі = и1 {t) представляют в этом пространстве некоторую линию. Обозначим через г' ра-диус-вектор точки Mt линии и через е'{ — координатные векторы 5. Соприкасающееся пространство Эвклида
'101
в этой точке. Составим дифференциальные уравнения
dr' = е; -??. dt\ de; = fc dt (4,5,10)
и потребуем, чтобы при t = t0 векторы e« при попарном скалярном умножении давали g(j риманового пространства в точке и1 (/0). С точностью до радиуса-вектора Го точки и1 (Z0) система (4,5,10) имеет единственное решение; в частности, она однозначно определяет координатные векторы в точках кривой.
Покажем, что при произвольном t выполняется соотношение
Є,- = ga.
Умножая второе соотношение (4,5,10) скалярно на е/, имеем dei ' pa du* > >
Если переставить индексы і, / и сложить найденное при этом равенство с предыдущим, то получится дифференциальное уравнение
(е;, ej) = гає)) + ei).
определяющее ход скалярного произведения координатных векторов вдоль кривой. К нему необходимо присоединить принятое выше начальное условие (ег, е,)0 = ga (/<>).
