Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Для доказательства теоремы Шура составим ковариантную производную тензора кривизны (4,10,4)
RiiMfm = (gikgil — giigik) Kfm и внесем ее в тождество Бианки — Падова. Получим (gikgil — giigik) К/т + (gIkgna — gilgmk) Kji + + (gmfcgil — gmlgik) Kfi = о.
Умножим это равенство на ff11 и произведем свертывание по индексам /л, /. Принимая во внимание известные соотношения gaigaj = = 6/ и ga^ga& = я, получим после несложных преобразований
(п - 2) (gikK/i - gikKfi) = о, (4,10,5) W Кривизна пространства Римана
in
откуда при п > 2 и Кц ф 0 непосредственно следует
Kli
gik = gik -щ- .
Оставляя і, / фиксированными и изменяя индекс Kt получим соотношение между элементами і-ой и k-oPi строк определителя Igl$ |. Поскольку эти элементы оказываются пропорциональными, должно быть I Цц J = 0, что противоречит известному свойству основной квад-ратической формы. Поэтому из равенства (4,10,5) с необходимостью следует Кц = 0, т. е. К = const, что мы и хотели доказать.
Случай п = 2 не представляет интереса, так как при этом в каждой точке континуума можно определить кривизну в направлении только одной единственной плоскости.
Формула (4,10,4) позволяет составить простое выражение для компонент тензора Риччи в пространстве постоянной кривизны. Умножив равенство
RaiJfi = К (gafgifi — gafigij)
на g-0^ и проведя свертывание, получим после упрощений
Ra=-(I-I)Kgil. (4,10,6)
При п > 3 эта формула представляет собой необходимое, но недостаточное условие постоянства кривизны, так как число существенных компонент тензора Римана — Кристофеля, равное-—- /г2 (/г2 —
— 1), превышает число компонент тензора Риччи, равное «у/г (п +
+ 1), вследствие чего обратный переход от (4,10,6) к (4,10,4) вообще невозможен. В частном случае, при п = 3, когда число тех и других компонент равно шести, соотношение (4,10,6) является не только необходимым, но и достаточным условием постоянной кривизны риманова пространства.
В заключение заметим, что существует три класса римановых пространств постоянной кривизны. При К = const квадратическую
форму можно привести к следующему виду:
^2 e -tf»+-+** 2. (4,ю,7)
I^l + —К(х*2+ ... + хп2) j
Простейшему случаю K = O отвечает эвклидово пространство в прямоугольных декартовых координатах. Если /С < 0, то пространство имеет постоянную отрицательную кривизну; радиусом
__i_
кривизны называется величина (—К) 2. Такое пространство называют гиперболическим. Для п = 3 его геометрия впервые 120
Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
была развита Н. И. Лобачевским. При К > 0 имеем случай пространства постоянной положительной кривизны. Радиус такого пространства, называемого сферическим, определяется форму-_ j_
лой К 2.
11. Сигнатура квадратической формы. Мы ввели ряд определений и составили формулы, употребляемые в ОТО. Однако при их применении необходимо иметь в виду, что в теории относительности метрика в некотором отношении существенно отличается от обычной метрики римановых пространств. В простейшем случае это различие проявляется при сравнении эвклидовой геометрии с четырехмерным континуумом Минковского.
Пусть имеется квадратическая форма
Ф (*, х) = а, ? =1,.../1 (4,11,1)
с произвольно заданными постоянными коэффициентами g"a?, отвечающими условию симметрии.
С помощью линейных преобразований эту форму можно привести к каноническому виду
<р(х, х) = EaXat; га = ± 1; а = 1, ... г, (4,11,2)
где г — ранг матрицы, образованной из коэффициентов приводимой формы. Для простоты допустим, что ранг матрицы совпадает с ее порядком, т. е. г = п.
Форму (4,11,1) к виду (4,11,2) можно привести различными способами. При этом выполняется так называемый закон инерции Я коби — Сильвестра, согласно которому числа положительных и отрицательных коэффициентов га канонической формы не зависят от способа приведения. Обозначив эти числа через р и q соответственно, имеем р + q = п. Разность р — q называется сигнатурой квадратической формы.
Пространству Эвклида в прямоугольных декартовых координатах отвечает случай р = /г, q = 0, когда сигнатура равна числу измерений пространства. В отличие от этого, пространственно-временной континуум Минковского, применяемый в СТО, характеризуется квадратической формой
s2=-jt2-^2-z2 + /2,
для которой P= 1, <7 = 3, что соответствует сигнатуре —2.
Иногда пользуются формой
s2 = x2 +y2 + z2 —P
с сигнатурой +2.
Таким образом, геометрия пространственно-временного континуума СТО отличается от обычной геометрии Эвклида; ее можно назвать, как это часто делают, псевдоэвклидовой. //. Сигнатура квадратической формы
121
Аналогичное различие существует между римановой метрикой и метрикой пространства-времени ОТО.
Если в пространстве Римана ввести систему ортогональных координат, то общая форма (4,4,1) примет вид
ds2 = gaadxa2
с положительными коэффициентами gaa. В частном случае, когда gaa приводятся к постоянным,пространство является эвклидовым.
Пространственно-временной континуум ОТО в ортогональных координатах характеризуется квадратической формой с тремя отрицательными и одним положительным коэффициентом (или наоборот), т. е. с сигнатурой —2 (или +2); геометрию этого континуума в общем случае можно назвать псевдоримановой.
