Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Преобразуем систему (4,7,2), исключив переменную s и заменив ее новой независимой переменной хп.
Последнее из этих уравнений напишем так:
(Pxn dxа d? I dxn Y /л -
-^2- =-Го*—J . (47,5)
Дифференцируя координату Xа (от Ф п), находим соотношение
(Рх° = (Рх° ( dxn \2 dxa (Pxn ds2 dxn% \ ds / d*n ds2 '
или, если внести (4,7,5),
(рх° _ f (Pxa гп dxa dx* dxa \ ( dxn Y ds2 ~~ 1 dxn2 a? dxn dxn dxn j \ ds ) '
Поэтому оставшиеся n — 1 уравнений геодезической линии принимают вид
(Pxa , (го гп dxa \ dxa dx? п
+ - ra? -^j4JT -JjT = 0, (4,7,6)
a = 1, ... /г — 1.
8. Тензор кривизны. Хорошо известно, что в обычном анализе при дифференцировании функции от нескольких переменных результат не зависит от принятого порядка дифференцирования. При ко-вариантном дифференцировании это свойство в общем случае нарушается. 8. Тензор кривизны
11!
Пусть uk—ковариантный вектор, компоненты которого обладают необходимыми аналитическими свойствами. Ковариантная производная
= jr-rftaa
является, как мы знаем, ковариантным тензором второго порядка»
Повторно продифференцируем этот тензор. Согласно общему определению (4,6,6), имеем
Uk/ii = klJ — ITfe«a// — rf/ttfe/a.
Если внести сюда выражение ковариантной производной первого порядка, то предыдущая формула примет вид
дГ?Ь „ г»а ди* pa диа ,
+1- Г?,--?- + г?/Г2*из-
Изменив порядок дифференцирования, получим
Puk Л/а
+ rffcr&«? - г?і +
Составим разность вторых производных. После очевидного упрощения и переделки индексов суммирования эта разность оказывается равной
uw - Ukfil= Г&Г% - Г%Г%) Ua. (4,8,1)
Итак, в случае произвольно заданного метрического поля git результат ковариантного дифференцирования зависит от порядка дифференцирования.
Рассмотрим соотношение (4,8,1) подробнее.
Вторые производные Uk/ji и Ukfij являются ковариантными тензорами второго порядка, вследствие чего левая часть (4,8,1) представляет собой тензор того же строения. В правой части выполняется свертывание произведения ковариантного вектора иа на коэффициенты, образованные из символов Кристофеля и их производных. Согласно правилам тензорной алгебры, эти коэффициенты также составляют тензор соответствующего строения.
Поскольку во втором множителе значок суммирования является индексом ковариантности, в выражении указанных коэффициентов он должен быть индексом контравариантности. Фиксированные 115 Г лава IV. Тензорный анализ и геометрия Римана
значки і, /, k являются, как и в левой части равенства, индексами ковариантности. Общепринятым обозначением коэффициентов служат символы /??,*.
Итак, система величин
RU. = + №_ Г« (4,8.2)
представляет собой некоторый смешанный тензор четвертого порядка, ковариантный относигельно i, /, k и контравариантный относительно а. Его компоненты образованы из составляющих метрического тензора и их производных первого и второго порядков. Этот тензор, называемый тензором кривизны Римана — Кристофеля, имеет фундаментальное значение в геометрии римановых пространств.
Для задания тензора Римана — Кристофеля вместо смешанных компонент часто употребляют ковариантные компоненты, образуя их путем умножения (4,8,2) на метрический тензор и последующего свертывания
RiiM = gouRux (4,8,3)
Перечислим формальные свойства тензора кривизны.
Переставим два первых индекса ковариантности в (4,8,2) и образуем Rfitk• Непосредственное сравнение с правой частью (4,8,2) дает
Rfitk.=-^ (4,8,4)
показывая, что тензор кривизны антисимметричен относительно индексов первой пары.
Выполнив циклическую перестановку всех трех индексов ковариантности, составим Rfkj- и Rktj- Сложив эти компоненты с (4,8,2), получим
RfiX + R%,t. + /?./. = 0, (4,8,5)
убедившись в том, что при циклировании по трем нижним индексам тензор Римана — Кристофеля исчезает.
Рассмотрим теперь ковариантные компоненты тензора кривизны. Антисимметричность величин Rii9H относительно индексов первой пары является непосредственным следствием свойства (4,8,4) и не представляет ничего нового. То же можно сказать и о равенстве RiiM + RikM + Rkiji = 0, которое вытекает из соотношения (4,8,5) после умножения на g& и свертывания по индексу а. Существенно новое свойство можно получить из определения (4,8,3), если ,написать его в развернутой форме. Простые преобразования, которые мы здесь не приводим, позволяют получить равенство
RHM = RkUh (4Д6) 8. Тензор кривизны
ИЗ
показывающее, что тензор Римана — Кристофеля симметричен относительно пар индексов ковариантности.
Комбинируя это свойство с условием антисимметричности (4,8,4), преобразуем RilJti = Rki,ц = — Rajki убедившись в том, что тензор кривизны антисимметричен и относительно индексов второй пары.
Пользуясь свойствами симметрии и антисимметрии, можно= сделать первыми любые три индекса из четырех. Например, с помощью преобразования Rum = Rkui = Rikh на первых местах мы расположили три последние индекса в исходном обозначении тензора. Отсюда следует, что согласно свойству (4,8,5), результат цитирования тензора RiiM по тРем любым индексам равен нулю.
