Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
(sin2
sh ф I (rfe2 + sin2 0d<p2) = yijdx'dx1,
V J
имеющее постоянную кривизну k = ±1»0.
Компоненты метрического тензора четырехмерного континуума определяются формулами
gii = — IPytfi g/4 = 0; ?44 = 1;
в которых индексы If j отличны от 4.
Тензор Риччи при і, j Ф 4 удовлетворяет формулам (см. 5)
Rif =Rif-(2R2 +RR) у ih
x
где Rij — компоненты тензора Риччи пространства трех измерений. Последние, согласно (4,10,6), определяются соотношениями Rij = —2ky(j, отвечающими каждому из рассматриваемых типов пространства при соответствующих значениях постоянной k.
Таким образом, компоненты тензора Риччи находятся по формулам
Rii =. — (2k + 2R2 -f- RR)Yt/; Ru = 0; R4i = 3R-1R. 8. Общая нестатическая модель
311
Ковариантные составляющие и скаляр тензора энергии-импульса вычисляются, как и в 5, при помощи равенств
Ttt = - PSii = РУи R2\ Ti4 = 0; Г44 = р; T = р - 3р.
Воспользовавшись этими значениями, нетрудно составить уравнения поля в развернутой форме. Система десяти уравнений поля сводится в нашем случае к двум следующим дифференциальным уравнениям:
2R2 + RR + 2k- AR2 = 4JtR2 (р — р);
2R-1R — Л = —- 4я (р + Зр), (8'8>5)
связывающим радиус кривизны пространства с плотностью и давлением материи.
Прежде всего следует отметить, что при Л = 0 решение R = = const дает р = р = 0. Стационарное решение при р > 0 и р > 0 существует лишь при АФ 0. Таким образом, вновь приходим к выводу о том, что статическая однородная модель совместима с ОТО только при условии, что уравнения поля дополнены Л-членом. В нестатическом же случае, когда радиус кривизны является функцией времени, уравнения (8,8,5) имеют решения при AgO.
Не останавливаясь на классификации нестатических однородных моделей, которая представляет главным образом математический интерес*, рассмотрим некоторые общие их свойства.
Разрешив систему уравнений (8,8,5) относительно давления и плотности, составим произведение р/?3 и выполним его дифференцирование по времени. Сделав необходимые упрощения, получим
Jj- р/?з = _ SpR2R. (8,8,6)
Если радиус кривизны пространства является возрастающей функцией времени, то произведение р/?3 убывает. Иными словами, плотность космологических масс уменьшается со временем быстрее, чем/?""3. В случае положительной кривизны, когда объем пространства конечен, полная масса 2n2R3p убывает при расширении модели и возрастает при ее сжатии. Масса замкнутой модели сохраняется только при р = 0, когда из (8,8,6) следует р/?8 = const.
Рассмотрим частицу, находящуюся в какой-либо точке с постоянными пространственными координатами, и определим ее ускорение в общем гравитационном поле модели. Согласно принципу геодезической линии, компоненты ускорения равны
* Подробную классификацию моделей можно найти во многих монографиях, например в известной книге Толмана. 312
Г лава VIII. Космология
-Jfi-= —Г44; о = 1, 2, 3. Для линейного элемента (8,8,4) все
три величины Г44 тождественно исчезают, вследствие чего SK 0.
Как и в теории Леметра, общее поле тяготения модели не вызывает ускорения неподвижной частицы.
Согласно квадратической форме (8,8,4), пространственный элемент в какой-либо заданный момент времени имеет вид
dt* = Wytidxfdxi; /,/== 1, 2,3,
где уи — функции только пространственных координат, R зависит от временной координаты.
Приложим эту формулу к линии, заданной параметрическими уравнениями Xі = Xі (т). Элемент дуги линии
dxc dxf \2 ,
У«1Г-аГ I d^
а длина дуги между точками, отвечающими значениям параметра t1, т2, определяется формулой
J j J \2
Ti
Эта длина является функцией времени: вместе с R она возрастает в расширяющейся и убывает в сжимающейся модели. Изменение ее в единицу времени пропорционально длине:
dln R dt R
= -9-/12. (8,8,7)
Все линейные размеры изменяются со временем в соответствии с законом расширения или сжатия модели, но отношения между ними, остаются неизменными.
Приццип Допплера в обобщенной нестатической модели имеет такое же выражение, как и в теории Леметра. Если пространственные положения источника излучения и наблюдателя заданы постоянными координатами ха\ и х°> то, согласно общей формуле (6,7,1), принцип Допплера имеет следующий вид;
К + бК _ К ~~ Cttl 9
где tl9 t2 — моменты излучения и наблюдения соответственно.
Пусть световой луч, соединяющий точки излучения и наблюдения, задан параметрическими уравнениями х° — х° (т). 8. Общая нестатическая модель
316
Из условия ds = О непосредственно следует dt2 = R^ndx'dx*, откуда
J-f
'» X1
Это соотношение определяет момент наблюдения в функции момента излучения. Поскольку правая часть равенства постоянна,
dt R
дифференцирование дает = Поэтому
-4^ = -?-. (8'8'8)
Рассматривая космологическую модель Леметра, мы представили это соотношение в виде приближенной формулы (8,6,6), выражающей линейную корреляцию Хаббла между красным смещением и расстоянием до источника излучения. Вычислим теперь правую часть равенства (8,8,8) с точностью до членов второго порядка включительно.
