Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
do2 = d^2 + sin2 ^dQ2 + sin2 ф sin2 Qdy2, (8,5,2)
которая определяет континуум трех измерений единичной кривизны. Согласно общей формуле для пространств постоянной кривизны (см. главу IV, 10), тензор Риччи этого континуума имеет
x
компоненты Rii = — 2уф где Yt/ — составляющие метрического тензора, равные коэффициентам квадратической формы (8,5,2). Звездочкой условимся отмечать величины, относящиеся к трехмерной метрике, сохранив для четырехмерной обычные обозначения.
Переходим к вычислению компонент тензора Риччи применительно к квадратической форме (8,5,1), в которой радиус сферического пространства считается, как уже сказано, функцией временной координаты.
Пусть /, /, k — индексы, принимающие значения 1, 2, 3. Метрический тензор имеет в рассматриваемом случае ковариантные
Sii = - A2Yf/; Sn = 0; ?44 = 1 и контравариантные
Sii = -^r'* Si4-O; g" = 1
компоненты.
Определитель метрического тензора, как нетрудно убедиться, равен g=t—R?y, где у — определитель третьего порядка \уц\. Из определения символов Кристофеля можно получить соотношения
г= ft; 1? = RRyii; Г?4 = irW; Г4*4 = T44fe = Г444 = 0,
при выводе которых следует принять во внимание, что коэффициенты Yx7- не зависят от времени.5. Решение Фридмана
303
Внеся написанные выражения символов Кристофеля в общее выражение тензора Риччи, получим после несложных преобразо-
ваний Rli = Rij - (2 R2 + RR) у,,; Rn = 0; Ru = 3RT1R.
Составим компоненты тензора энергии-импульса, считая, как и прежде, что макроскопических движений в веществе нет.
Воспользовавшись общим определением тензора энергии-им-пульса, находим ковариантные компоненты
Tii = - pgu\ Ti4 = 0; T44 = р
и скаляр этого тензора T = р — Зр.
В дальнейшем для простоты принимаем р = 0. Теперь можно написать уравнения поля в развернутой форме. Учитывая полученные значения тензоров Rij и Tii и соотношение
x
Rij = —2yij9 легко убедиться в том, что уравнения поля сводятся к двум дифференциальным уравнениям
2R2 + RR- AR2 - AnpR2 + 2=0; 3 R-rR + 4яр — А = 0,
содержащим две искомые функции времени.
Систему (8,5,3) можно привести к одному уравнению относительно радиуса. Исключая R1 получим
+ (8,5,4)
Дифференцируя это уравнение по времени и сравнивая затем со вторым соотношением(8,5,3), найдем после простых преобразований рR + ЗрR = 0, откуда непосредственно следует
P = а/Г3, (8,5,5)
где а — постоянная интегрирования.
Плотность вещества в рассматриваемой нестатической модели изменяется обратно пропорционально кубу радиуса пространства. Используя эту зависимость, уравнение (8,5,4) можно переписать
в виде R2 = -^ aR-1 + ±- AR2 - 1. (8,5,6)
Таким образом, при соблюдении условия однородности уравнения поля ОТО допускают нестатическое решение, в котором ось времени остается, как и в модели Эйнштейна, неискривленной, а пространство представляет собой трехмерную сферу с переменным радиусом, удовлетворяющим дифференциальному уравнению (8,5,6).
6. Расширяющаяся вселенная Леметра. Воспользовавшись решением Фридмана, Леметр построил и изучил космологическую304
Г лава VIII. Космология
модель нестатического типа, известную под названием теории расширяющейся вселенной [81.
Уравнение (8,5,6) допускает различные решения, зависящие от выбора знака R и от соотношения между коэффициентом пропорциональности в законе (8,5,5) и космологической постоянной. Найдем решение, содержащее статическое решение Эйнштейна. С этой целью положим R = const = R0. Уравнения поля (8,5,3) примут при этом вид
ARl + — 2 = 0; A = 4яр0.
Присоединяя к ним соотношение P0 = aR^39 получим _ j_
R0 = A 2; P0 = ^; а=(8,6,1)
4яАТ
Два первых равенства совпадают с соответствующими формулами статической модели Эйнштейна, последнее определяет значение а, при котором правая часть уравнения (8,5,6) имеет двойной положительный корень R0.
Рассмотрим нестатическую модель Леметра, отвечающую линейному элементу (8,5,1) и уравнению
R = + /4- R0RT1 + 4" Ro2R2 - 1, (8,6,2)
которое^ является частным случаем уравнения Фридмана при определенном выборе знака производной R и при указанных значениях постоянных а, А. Пространство этой модели представляет собой монотонно расширяющуюся сферу и содержит равномерно распределенные массы с плотностью, убывающей обратно пропорционально кубу радиуса. Объем пространства V = 2n2Rs
возрастает вместе с радиусом, тогда как полная масса M = TcR0
остается постоянной.
Статическая модель Эйнштейна представляет собой состояние равновесия рассматриваемой модели. Однако это равновесие неустойчиво: если в какой-либо момент модель Леметра уклоняется от модели Эйнштейна, то со временем это уклонение будет возрастать.
Пусть в некоторый момент t0 уклонение радиуса от равновесного значения R0 составляет сколь угодно малую величину є0. Положив для произвольного момента R =R0-^e и произведя разложение с точностью до членов второго порядка относительно є включительно, получим
RqR 1H—o~ Ro 2R2 — 1 = ~To~ • * Ri6. Расширяющаяся вселенная Jleметра