Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богородский А.Ф. -> "Всемирное тяготение" -> 106

Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.

Богородский А.Ф. Всемирное тяготение — К.: Наук. думка, 1971. — 354 c.
Скачать (прямая ссылка): vsemirnoetyagotenie1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 125 >> Следующая


do2 = d^2 + sin2 ^dQ2 + sin2 ф sin2 Qdy2, (8,5,2)

которая определяет континуум трех измерений единичной кривизны. Согласно общей формуле для пространств постоянной кривизны (см. главу IV, 10), тензор Риччи этого континуума имеет

x

компоненты Rii = — 2уф где Yt/ — составляющие метрического тензора, равные коэффициентам квадратической формы (8,5,2). Звездочкой условимся отмечать величины, относящиеся к трехмерной метрике, сохранив для четырехмерной обычные обозначения.

Переходим к вычислению компонент тензора Риччи применительно к квадратической форме (8,5,1), в которой радиус сферического пространства считается, как уже сказано, функцией временной координаты.

Пусть /, /, k — индексы, принимающие значения 1, 2, 3. Метрический тензор имеет в рассматриваемом случае ковариантные

Sii = - A2Yf/; Sn = 0; ?44 = 1 и контравариантные

Sii = -^r'* Si4-O; g" = 1

компоненты.

Определитель метрического тензора, как нетрудно убедиться, равен g=t—R?y, где у — определитель третьего порядка \уц\. Из определения символов Кристофеля можно получить соотношения

г= ft; 1? = RRyii; Г?4 = irW; Г4*4 = T44fe = Г444 = 0,

при выводе которых следует принять во внимание, что коэффициенты Yx7- не зависят от времени. 5. Решение Фридмана

303

Внеся написанные выражения символов Кристофеля в общее выражение тензора Риччи, получим после несложных преобразо-

ваний Rli = Rij - (2 R2 + RR) у,,; Rn = 0; Ru = 3RT1R.

Составим компоненты тензора энергии-импульса, считая, как и прежде, что макроскопических движений в веществе нет.

Воспользовавшись общим определением тензора энергии-им-пульса, находим ковариантные компоненты

Tii = - pgu\ Ti4 = 0; T44 = р

и скаляр этого тензора T = р — Зр.

В дальнейшем для простоты принимаем р = 0. Теперь можно написать уравнения поля в развернутой форме. Учитывая полученные значения тензоров Rij и Tii и соотношение

x

Rij = —2yij9 легко убедиться в том, что уравнения поля сводятся к двум дифференциальным уравнениям

2R2 + RR- AR2 - AnpR2 + 2=0; 3 R-rR + 4яр — А = 0,

содержащим две искомые функции времени.

Систему (8,5,3) можно привести к одному уравнению относительно радиуса. Исключая R1 получим

+ (8,5,4)

Дифференцируя это уравнение по времени и сравнивая затем со вторым соотношением(8,5,3), найдем после простых преобразований рR + ЗрR = 0, откуда непосредственно следует

P = а/Г3, (8,5,5)

где а — постоянная интегрирования.

Плотность вещества в рассматриваемой нестатической модели изменяется обратно пропорционально кубу радиуса пространства. Используя эту зависимость, уравнение (8,5,4) можно переписать

в виде R2 = -^ aR-1 + ±- AR2 - 1. (8,5,6)

Таким образом, при соблюдении условия однородности уравнения поля ОТО допускают нестатическое решение, в котором ось времени остается, как и в модели Эйнштейна, неискривленной, а пространство представляет собой трехмерную сферу с переменным радиусом, удовлетворяющим дифференциальному уравнению (8,5,6).

6. Расширяющаяся вселенная Леметра. Воспользовавшись решением Фридмана, Леметр построил и изучил космологическую 304

Г лава VIII. Космология

модель нестатического типа, известную под названием теории расширяющейся вселенной [81.

Уравнение (8,5,6) допускает различные решения, зависящие от выбора знака R и от соотношения между коэффициентом пропорциональности в законе (8,5,5) и космологической постоянной. Найдем решение, содержащее статическое решение Эйнштейна. С этой целью положим R = const = R0. Уравнения поля (8,5,3) примут при этом вид

ARl + — 2 = 0; A = 4яр0.

Присоединяя к ним соотношение P0 = aR^39 получим _ j_

R0 = A 2; P0 = ^; а=(8,6,1)

4яАТ

Два первых равенства совпадают с соответствующими формулами статической модели Эйнштейна, последнее определяет значение а, при котором правая часть уравнения (8,5,6) имеет двойной положительный корень R0.

Рассмотрим нестатическую модель Леметра, отвечающую линейному элементу (8,5,1) и уравнению

R = + /4- R0RT1 + 4" Ro2R2 - 1, (8,6,2)

которое^ является частным случаем уравнения Фридмана при определенном выборе знака производной R и при указанных значениях постоянных а, А. Пространство этой модели представляет собой монотонно расширяющуюся сферу и содержит равномерно распределенные массы с плотностью, убывающей обратно пропорционально кубу радиуса. Объем пространства V = 2n2Rs

возрастает вместе с радиусом, тогда как полная масса M = TcR0

остается постоянной.

Статическая модель Эйнштейна представляет собой состояние равновесия рассматриваемой модели. Однако это равновесие неустойчиво: если в какой-либо момент модель Леметра уклоняется от модели Эйнштейна, то со временем это уклонение будет возрастать.

Пусть в некоторый момент t0 уклонение радиуса от равновесного значения R0 составляет сколь угодно малую величину є0. Положив для произвольного момента R =R0-^e и произведя разложение с точностью до членов второго порядка относительно є включительно, получим

RqR 1H—o~ Ro 2R2 — 1 = ~To~ • * Ri 6. Расширяющаяся вселенная Jleметра
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed