Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
R2 + 2RR + 1 = 0; З/?2 + 3 — 8яр/?2 = 0. (8,7,1)
Эта система позволяет определить функцию R9 от которой зависит метрика пространства, и найти закон изменения плотности в процессе развития космологической модели во времени.
Первое уравнение (8,7,1) допускает непосредственное интегрирование и дает
R2== R2^Ri (8>72)
где R0 — постоянная интегрирования. 20* 308
Г лава VIII. Космология
В расширяющейся модели величина R в области малых значений этой функции возрастает со временем весьма быстро. В дальнейшем скорость возрастания уменьшается и в точке R0 исчезает. Однако величина R0 не может служить стационарным решением уравнения
(8,7,1), поскольку при этом /? = — у RH1 < 0, вследствие чего расширение сменяется медленным, но постоянно ускоряющимся сжатием.
Учитывая наблюдаемое красное смещение в спектрах внегалактических туманностей, следует принять, что современному состоянию Вселенной соответствует стадия расширения. Поскольку величина смещения, как и в теории Леметра, должна удовлетворять
D
соотношению (8,6,6), можно написать Я = -^, где Я — коэффициент пропорциональности в формуле Хаббла.
Постоянная Хаббла и средняя плотность вещества в Метагалактике являются основными данными наблюдений, с помощью которых можно вывести характеристики данной космологической модели. Представив (8,7,1) в виде
-|г = 8яр-ЗЯ2,
нетрудно вычислить современное значение функции R1 затем определить ее производную R = RH и параметр R0 , согласно (8,7,2). Время расширения модели до современного состояния можно найти по формуле
R _ _1_
T=IiR0R-1-I) 2 dRt о
которая непосредственно следует из уравнения (8,7,2).
Как уже сказано, наиболее важным выводом работы Эйнштейна является возможность согласовать гипотезу об однородности йсе-ленной с ОТО, не вводя космологический член в уравнения поля. Однако в данной форме нестатическая модель противоречит астрономическим наблюдениям. Действительно, написанное выше уравнение, имеющее в системе CGS вид 3C2R"2 = 8яур — ЗЯ2, показывает, что функция R вещественна лишь при условии 8яур > 3Я2. Внося сюда постоянную Хаббла, получим р > IO27 г • смГ3, тогда как, по современным данным, средняя плотность вещества в Метагалактике — около 10~31 г • см~3*.
* В указанной работе Эйнштейн, принимая R0 — R ^ Rf находит, что плотность вещества во Вселенной составляет IO"^26 г-aw-3, что в настоящее время совершенно неприемлемо. 8. Общая нестатическая модель
309
8. Общая нестатическая модель. Сферическая вселенная JIe-метра и расширяющийся мир Эйнштейна являются частными вариантами общей однородной космологической модели, основанной на нестатическом решении уравнений поля ОТО. Переходим к краткому рассмотрению этой модели.
Линейный элемент трехмерного пространства Римана постоянной кривизны, как сказано в главе IV, может быть представлен в форме
do2 = {1 + 4" ¦К + У2 + г2)|"2 (dx* + 2 + dz^
где К — кривизна пространства.
Введя радиус кривизны Rf можно написать К ^kRT2, где k = = ± 1,0 для пространств положительной, отрицательной и нулевой кривизны соответственно. Поэтому исходную квадратическую форму для сферического, гиперболического и эвклидова простран ств примем в виде
da2 = 11 -f- k + + + }~2 (dx2 + dy2 + dz2). (8,8,1)
Радиус кривизны одинаков во всех точках пространства. Считая его функцией времени, положим R = RjM).
Преобразуем линейный элемент (8,8,1), перейдя к сферическим координатам при помощи соотношений,
-Le -Lg Lg
х=е2 г sin 8 cos ф; у=е2 rsinosinqr, z = е2 гcoso.
После вычислений получим
do2 = egt ^ 1 + у2 (dr2 + /W + г2 sin2 0rf<p2). (8,8,2)
При исследовании свойства однородной космологической модели эту форму линейного элемента подробно изучали Робертсон [101 и Толман [111. Для упрощения последующих выкладок преобразуем эту с|юрму к виду, аналогичному (8,5,1).
При k = ±1,0 введем вместо г новую переменную при помощи равенств
tf0sin ? = /^1 +^r)1; sh ^ = /* ^ 1 — ""^rj"1; R<$ = r соответственно.
В результате линейный элемент (8,8,2) приводится в указанных случаях к одной из следующих форм:
(sin2
Sh2 ф ] (rfe2 + sin2 0^ф2) [. (8,8,3)
г|)2 310
Г лава VIII. Космология
Четырехмерный линейный элемент ОТО, отвечающий пространствам с метриками (8,8,3), запишем в виде
/sin2t|>\ ]
ds2 = — R2 + sh* ¦ (rf02 + sin2 еЛр*) + dt2t (8,8,4)
\ W J J
объединяя упомянутые типы трехмерных пространств постоянной кривизны.
В модели первого типа пространство имеет форму трехмерной сферы, является замкнутым и в каждый момент обладает конечным объемом 2n2Rs. Второй случай соответствует разомкнутому гиперболическому пространству с бесконечно большим объемом, третий — пространству Эвклида, в котором расстояние между двумя точками с заданными постоянными координатами является функцией времени. Зависимость метрики (8,8,4) от временной координаты в каждом случае должна быть найдена из уравнений поля ОТО.
При составлении уравнений поля воспользуемся приемом, примененным в п. 5. С этой целью, наряду с четырехмерным континуумом (8,8,4), будем рассматривать трехмерное пространство с метрикой
