Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
305
Дифференциальное уравнение (8,6,2) принимет при этом вид
JJ
в = и после интегрирования дает е = E0^ , показывая, что
Ко
со временем уклонение е монотонно возрастает.
Вычислим время расширения модели. Воспользовавшись урав* пением (8,6,2), найдем
і, - Z1 = Ro У 3J % ; - -?-; - -?-. (8.6.3)
Xt у X2 + — 3
Эта формула определяет время, в течение которого радиус модели возрастает от R1 до R2. При R1 /?0 интеграл (8,6,3) расходится.
Как и в статической модели Эйнштейна, общее поле тяготения модели Леметра не может привести в движение неподвижную частицу. В этом можно убедиться при помощи применявшегося уже
соотношения --f- /"44 =0, в котором символ Кристофеля для
.метрики (8,5,1) равен нулю.
Рассмотрим эффект Допплера в модели Леметра. Пусть источник излучения имеет заданные постоянные координаты ф, 0, ф, а наблюдатель находится в начале координат. Принцип
Допплера выражается в этом случае формулой ft ^ = ^
где tu t2 — моменты излучения и наблюдения. Свет от источника к наблюдателю распространяется радиально, вследствие чего dQ =dq> =0. Положив в линейном элементе (8,5,1) ds = 0, получим = — RСледовательно,
U
^ = J ргхdt. (8,6,4)
і,
При заданном ф этой формулой определяется момент наблюдения в функции момента излучения. Дифференцируя, находим
= -о1-, где Rі, R2 — соответствующие значения радиуса модели, "і
Поэтому принцип Допплера принимает следующий вид:
-Ц^- = ^-, (8,6,5)
* Напомним, что вычисление производится в релятивистских единицах.
ct_
В системе CGS эта формула имеет следующий вид: є =E0 . 20 А. Ф. Богородский306
Г лава VIII. Космология
показывая, что в спектре излучения источника с постоянными пространственными координатами должно наблюдаться смещение линий к красному концу спектра. Величина смещения определяется отношением радиусов в моменты наблюдения и излучения. Это отношение может заметно превосходить единицу только в том случае, если радиация распространяется достаточно долго, т. е. для достаточно удаленных источников излучения.
Представим соотношение (8,6,5) в приближенной форме. Положив R2 = R, можно написать R1 =R — R (t2 — Расстояние источника излучения от начала координат в момент наблюдения составляет / = RxС другой стороны, согласно (8,6,4), имеем гр = = R~l (t2 — /і); следовательно, R1 = R — RL Принцип Допплера принимает теперь вид
4-=4^ (8'66)
показывая, что в модели Леметра красное смещение в спектрах удаленных источников пропорционально расстояниям.
Этот вывод способствовал быстрому успеху теории Леметра. Как известно, в спектрах внегалактических туманностей наблюдается смещение линий в сторону длинных волн, причем величина этого смещения отвечает линейной корреляции Хаббла V = #/, где H — так называемая постоянная Хаббла, которая, согласно современным данным, составляет 70—100 кмісек на мегапарсек. Если это явление отождествить с эффектом (8,6,5), обусловленным расширением космологической модели Леметра, то в релятивистских
Ы R единицах получится: Я =
Постоянная Хаббла и средняя плотность вещества являются основными данными наблюдений, позволяющими вычислить количественные характеристики модели Леметра: космологическую постоянную и современный радиус модели. Для этих вычислений следует воспользоваться уравнениями (8,5,4) и (8,5,5) вместе с последним соотношением (8,6,1). Принимая во внимание равенство ь
Я = —, можно написать і\
_JL
Я* = *Lp+-^A-R-2-, P = ^rA 2R-3. (8,6,7)
По формулам (8,6,1) определяют затем начальный радиус и начальную плотность. Время расширения находят из соотношения (8,6,3).
Для иллюстрации рассмотренной теории приведем количественные значения основных параметров модели Леметра, вычисленные в соответствии с данными наблюдений.6. Расширяющаяся вселенная Леметра
307
Согласно современным оценкам постоянной Хаббла и средней плотности вещества в Метагалактике, можно принять
H = 75 км секГ1/мпс~ 2 • Ю~~18смсек~1 /см; р~ КГ"31 гсмГ3.
В системе CGS написанные выше формулы имеют следующий вид:
(4-)" —^ р + 4- А — Jrt -^p==A-V3; =A^.
Выполнив с их помощью необходимые вычисления, найдем Ar-2 . КГ56 см'2; R^ 4 • IO28 см; /?0^0,8 . IO28 см.
Согласно (8,6,3), время, за которое радиус модели удвоился и достиг современного, составляет около IO10 лет.
Отметим, что в первой работе Леметр, пользуясь принятыми в то время данными наблюдений, получил для начального радиуса модели 8,5 • IO2e см.
7. Нестатическая модель Эйнштейна. Концепцию однородной статической вселенной, наполненной веществом с отличной от нуля плотностью, можно совместить с ОТО, дополнив уравнения поля космологическим членом. В работе, опубликованной в 1931 г., Эйнштейн указал, что необходимость такого расширения уравнений поля существенно связана с гипотезой статичности. При отказе от условия статичности имеется возможность согласовать концепцию однородной вселенной с ОТО, «не вводя Л-член, явно неудовлетворительный с теоретической точки зрения» [91.
В качестве исходной формы линейного элемента примем (8,5,1), где R представляет собой функцию временной координаты. Уравнения поля принимают в этом случае вид (8,5,3). Естественно спросить, можно ли построить непротиворечивую и согласную с наблюдениями космологию, опустив космологический член, введение которого было необходимо для устранения гравитационного парадокса в статической вселенной. Положив Л = 0, перепишем уравнения (8,5,3) в виде