Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богородский А.Ф. -> "Всемирное тяготение" -> 103

Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.

Богородский А.Ф. Всемирное тяготение — К.: Наук. думка, 1971. — 354 c.
Скачать (прямая ссылка): vsemirnoetyagotenie1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 125 >> Следующая


Для сходимости суммы (8,2,2) необходимо, чтобы каждый ее член был меньше предыдущего, т. е. чтобы выполнялось соотношение P1R1 < Pt—\Ri—і. Внося сюда (8,2,1), получим

TS5- > VMi. (8,2,3)

Это неравенство имеет в теории Шарлье фундаментальное значение. Отвечающая ему космологическая модель свободна от гравитационного парадокса Зеелигера: звезды обладают в ней конечными ускорениями, хотя потенциал общего поля тяготения может быть неопределенно большим.

Рассмотрим вопрос о парадоксе Ольберса во Вселенной Ламберта— Шарлье. С этой целью воспользуемся соотношением (8,1,1), связывающим видимую звездную плотность с истинной. Полное экранирование неба звездами наступает в том случае, если при

OO

г оо видимая плотность исчезнет, т. е. если интеграл J Ddr

Г О

расходится.

Луч зрения, проведенный от наблюдателя в каком-либо направлении, пересекает космические системы различных порядков. Пусть отрезок его внутри системы /-го порядка имеет длину Средняя звездная плотность в этой системе

SNiNi^ ... N1

д = ZMf •

Поэтому соответствующий элемент интеграла можно заменить выражением о -

-^Ni ...NARr3,

а интеграл представить в виде суммы

J-^Ni ... NJiRF3-

Поскольку bi < 2Ri1 имеем

OO

J Ddr < JL 2 Ni ... NlRr2. (8,2.4)

Го

Отношение /-го члена суммы (8,2,4) к предыдущему равно NiR2i^iRJ2 и, согласно (8,2,3), составляет величину меньше единицы. Таким образом, общее условие Вселенной Ламберта — Шарлье обеспечивает сходимость суммы (8,2,4), а следовательно, и инте^ грала в соотношении между видимой и истинной звездными 294

Г лава VIII. Космология

плотностями. Видимая плотность отлична от нуля на всех расстояниях от наблюдателя, и потому космологическая модель Шарлье свободна от оптического парадокса Ольберса.

3. Гравитационный парадокс и общая теория относительности. Гравитационный парадокс Зеелигера выражает несовместимость точной формы закона тяготения Ньютона с концепцией однородной статической Вселенной. С точки зрения классической механики, устранение парадокса достигается ценой отказа от точной формы закона Ньютона или путем постулирования некоторого неоднородного распределения космических масс, например такого, какой принят в иерархической вселенной Ламберта — Шарлье. Естественно спросить, можно ли согласовать идею однородной статической Вселенной с уравнением поля ОТО.

В однородной космологической модели все пространственные точки и все направления равноправны, поэтому линейный элемент независим от начала пространственных координат и должен удовлетворять условию сферической симметрии. В ОТО такой элемент имеет вид

где а, ? — функции одного г.

С математической точки зрения, поставленный вопрос сводится к задаче: допускают ли уравнения поля Эйнштейна

решение в форме (8,3,1), если принять, что масса распределена с постоянными плотностью и давлением.

Представим уравнения поля в развернутой форме.

В случае пространственно-временного элемента (8,3,1) диагональные компоненты тензора Риччи определяются (}юрмулами (см. главу V)

ds2==— Лг2 — rW — г2 sin2 0d<p2 + (8,3,1)

(8,3,2)

(8,3,3)

тогда как остальные компоненты этого тензора тождественно исчезают. 3. Гравитационный парадокс и ОТО

295

Тензор энергии-импульса находится по общей формуле

Г7 / . ч dx? dx1 а

-fo + ^-ar л—в P-

Согласно условию статичности, следует считать, что макроскопических движений в веществе нет, вследствие чего из четырех dx°

компонент вектора отличается от нуля лишь последняя, удовлетворяющая соотношению =1- Поэтому ковариантные

компоненты тензора энергии-импульса, отвечающие линейному элементу (8,3,1), а также скаляр этого тензора определяются формулами

T1X = реа\ T22 = pr\ T33 = pr*sin29; T44 = ре*;

Т = р — 3р\ Tii = 0; і ф /. (8,3,4)

С помощью (8,3,3) и (8,3,4) уравнения поля приводятся к системе трех дифференциальных уравнений относительно функций

а, ?

"І" + TT (P' - а/) - jS- a - 4^a (Р ~ ^ (8>3'5>

?" , a'?' ?'2 ?' . a/ , о ч

--1^r H—f---г---7- = —4яг (p+3p).

В зіту систему входят лишь две искомые функции, поэтому можно ожидать, что при произвольно заданных р и р она не имеет решения. Найдем условие совместимости уравнений (8,3,5). Сложив первое уравнение с третьим, получим

a'+?' = 8 ягеа(р + р). (8,3,6)

Это равенство вместе со вторым уравнением (8,3,5) дает

?' = -±+ + Snrpea.

Дифференцируя его и исключив затем давление, найдем

ft„ _ 2 2еа , a' H- P' , ,ft, P =TT--T-2-+ aP-

Если полученное равенство внести в формулу

Р" a'P' . ?"___a^ _ 1 ?' — a' ea

AlA r #-2 і

2 4 1 4 г ' г2 ' 2г г* 9

которая непосредственно следует из двух первых уравнений 296

Г лава VIII. Космология

(8,3,5), то после несложных преобразований получится (a' -J-4- ?') ?' = О или, согласно (8,3,6),

(p + p)?' = 0. (8,3,7)

Нетрудно убедиться в том, что это равенство является не только необходимым, но и достаточным условием совместимости уравнений поля (8,3,5).

При р = р = 0 система (8,3,5) переходит в уравнения поля для пустого пространства и приводит к внешнему решению Шварцшильда, рассмотренному в главе V. Поскольку в нашем случае это решение не представляет интереса, остается положить ?' = 0. Однако при этом последнее уравнение системы (8,3,5) дает р + Зр = = 0, т. е. также P = P = O. Таким образом, уравнения поля не допускают решения при постоянных положительных р и р\ как и закон тяготения Ньютона, уравнения поля ОТО не совместимы с концепцией однородной статической Вселенной.
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed