Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Для сходимости суммы (8,2,2) необходимо, чтобы каждый ее член был меньше предыдущего, т. е. чтобы выполнялось соотношение P1R1 < Pt—\Ri—і. Внося сюда (8,2,1), получим
TS5- > VMi. (8,2,3)
Это неравенство имеет в теории Шарлье фундаментальное значение. Отвечающая ему космологическая модель свободна от гравитационного парадокса Зеелигера: звезды обладают в ней конечными ускорениями, хотя потенциал общего поля тяготения может быть неопределенно большим.
Рассмотрим вопрос о парадоксе Ольберса во Вселенной Ламберта— Шарлье. С этой целью воспользуемся соотношением (8,1,1), связывающим видимую звездную плотность с истинной. Полное экранирование неба звездами наступает в том случае, если при
OO
г оо видимая плотность исчезнет, т. е. если интеграл J Ddr
Г О
расходится.
Луч зрения, проведенный от наблюдателя в каком-либо направлении, пересекает космические системы различных порядков. Пусть отрезок его внутри системы /-го порядка имеет длину Средняя звездная плотность в этой системе
SNiNi^ ... N1
д = ZMf •
Поэтому соответствующий элемент интеграла можно заменить выражением о -
-^Ni ...NARr3,
а интеграл представить в виде суммы
J-^Ni ... NJiRF3-
Поскольку bi < 2Ri1 имеем
OO
J Ddr < JL 2 Ni ... NlRr2. (8,2.4)
Го
Отношение /-го члена суммы (8,2,4) к предыдущему равно NiR2i^iRJ2 и, согласно (8,2,3), составляет величину меньше единицы. Таким образом, общее условие Вселенной Ламберта — Шарлье обеспечивает сходимость суммы (8,2,4), а следовательно, и инте^ грала в соотношении между видимой и истинной звездными294
Г лава VIII. Космология
плотностями. Видимая плотность отлична от нуля на всех расстояниях от наблюдателя, и потому космологическая модель Шарлье свободна от оптического парадокса Ольберса.
3. Гравитационный парадокс и общая теория относительности. Гравитационный парадокс Зеелигера выражает несовместимость точной формы закона тяготения Ньютона с концепцией однородной статической Вселенной. С точки зрения классической механики, устранение парадокса достигается ценой отказа от точной формы закона Ньютона или путем постулирования некоторого неоднородного распределения космических масс, например такого, какой принят в иерархической вселенной Ламберта — Шарлье. Естественно спросить, можно ли согласовать идею однородной статической Вселенной с уравнением поля ОТО.
В однородной космологической модели все пространственные точки и все направления равноправны, поэтому линейный элемент независим от начала пространственных координат и должен удовлетворять условию сферической симметрии. В ОТО такой элемент имеет вид
где а, ? — функции одного г.
С математической точки зрения, поставленный вопрос сводится к задаче: допускают ли уравнения поля Эйнштейна
решение в форме (8,3,1), если принять, что масса распределена с постоянными плотностью и давлением.
Представим уравнения поля в развернутой форме.
В случае пространственно-временного элемента (8,3,1) диагональные компоненты тензора Риччи определяются (}юрмулами (см. главу V)
ds2==— Лг2 — rW — г2 sin2 0d<p2 + (8,3,1)
(8,3,2)
(8,3,3)
тогда как остальные компоненты этого тензора тождественно исчезают.3. Гравитационный парадокс и ОТО
295
Тензор энергии-импульса находится по общей формуле
Г7 / . ч dx? dx1 а
-fo + ^-ar л—в P-
Согласно условию статичности, следует считать, что макроскопических движений в веществе нет, вследствие чего из четырех dx°
компонент вектора отличается от нуля лишь последняя, удовлетворяющая соотношению =1- Поэтому ковариантные
компоненты тензора энергии-импульса, отвечающие линейному элементу (8,3,1), а также скаляр этого тензора определяются формулами
T1X = реа\ T22 = pr\ T33 = pr*sin29; T44 = ре*;
Т = р — 3р\ Tii = 0; і ф /. (8,3,4)
С помощью (8,3,3) и (8,3,4) уравнения поля приводятся к системе трех дифференциальных уравнений относительно функций
а, ?
"І" + TT (P' - а/) - jS- a - 4^a (Р ~ ^ (8>3'5>
?" , a'?' ?'2 ?' . a/ , о ч
--1^r H—f---г---7- = —4яг (p+3p).
В зіту систему входят лишь две искомые функции, поэтому можно ожидать, что при произвольно заданных р и р она не имеет решения. Найдем условие совместимости уравнений (8,3,5). Сложив первое уравнение с третьим, получим
a'+?' = 8 ягеа(р + р). (8,3,6)
Это равенство вместе со вторым уравнением (8,3,5) дает
?' = -±+ + Snrpea.
Дифференцируя его и исключив затем давление, найдем
ft„ _ 2 2еа , a' H- P' , ,ft, P =TT--T-2-+ aP-
Если полученное равенство внести в формулу
Р" a'P' . ?"___a^ _ 1 ?' — a' ea
AlA r #-2 і
2 4 1 4 г ' г2 ' 2г г* 9
которая непосредственно следует из двух первых уравнений296
Г лава VIII. Космология
(8,3,5), то после несложных преобразований получится (a' -J-4- ?') ?' = О или, согласно (8,3,6),
(p + p)?' = 0. (8,3,7)
Нетрудно убедиться в том, что это равенство является не только необходимым, но и достаточным условием совместимости уравнений поля (8,3,5).
При р = р = 0 система (8,3,5) переходит в уравнения поля для пустого пространства и приводит к внешнему решению Шварцшильда, рассмотренному в главе V. Поскольку в нашем случае это решение не представляет интереса, остается положить ?' = 0. Однако при этом последнее уравнение системы (8,3,5) дает р + Зр = = 0, т. е. также P = P = O. Таким образом, уравнения поля не допускают решения при постоянных положительных р и р\ как и закон тяготения Ньютона, уравнения поля ОТО не совместимы с концепцией однородной статической Вселенной.