Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Переходим к краткому описанию космологической модели де Ситтера. Согласно линейному элементу (8,4,6), пространственно-временной континуум модели представляет собой четырехмерную сферу, радиус которой определяется космологической постоянной. По форме трехмерного пространства модель де Ситтера не отличается от модели Эйнштейна: как и в последней, пространство сферическое и имеет конечный объем. Различие в метрике моделей относится к измерению времени.
Характерная особенность модели де Ситтера состоит в отсутствии массы с объемной плотностью. Следует, однако, иметь в виду, что «мир де Ситтера» не является совершенно пустым, поскольку его метрика удовлетворяет уравнениям поля для пустоты лишь при г < R. При г =^ R уравнения нарушаются, показывая, что в модели существует сферическая поверхность, на которой тензор энергии-импульса не равен нулю.
В отличие от модели Эйнштейна, общее поле тяготения модели де Ситтера вызывает ускорение покоящихся тел. Действительно, ускорение неподвижной частицы определяется, как указывалось,
формулой = — Г?4. Символы Кристофеля Г?4 при а = 2,3
исчезают. При а = 1 имеем Г44 =—^--Поэтому неподвижен ах
ное тело обладает радиальным ускорением
(Pr
Mi--)
R2 1 1 R2 Г
dt2 ~~ R2
которое равно нулю лишь в начале координат и на сфере г = R. Это показывает, что в модели де Ситтера общее гравитационное поле вызывает рассеяние небесных тел.
Отметим интересную оптическую особенность этой модели. Положив в линейном элементе (8,4,6) dQ = d<p = 0 и ds = 0, получим уравнение
dr
Л /М 300
Г лава VIII. Космология
интегрирование которого показывает, что для распространения света между сферой г = R и какой-либо точкой г < R необходим бесконечно большой промежуток времени. Световой сигнал о событии, которое произошло на сфере, недоступен для наблюдателя внутри нее.
Рассмотрим еще эффект Допплера в модели де Ситтера. Пусть источник света, имеющий радиальную скорость, излучает в момент tx световой импульс длины волны Л. Найдем длину волны X + 6Х, измеренную в момент t2 наблюдателем, находящимся в начале координат.
Согласно общей формуле (6,7,1), принцип Допплера в данном случае выражается соотношением
X + 61 _ dt 2 e / ds \ X — dtx : \ dt I19
в котором индексом 1 отмечена производная, относящаяся к источнику излучения.
Связь между моментами излучения и наблюдения определяется формулой
dt V R* Jt
которая дает
г
=/l+Jfl--J-)"1^
о
и после дифференцирования приводит к соотношению
Sf-'+О--І-Ґ (¦?>,¦ <М.»>
где (-^rji — скорость источника в момент излучения.
Для вычисления воспользуемся последним из уравнений
геодезической линии
d4 Г4 dxa dx? п
+ 1 ~dT ~dT = 09 которое в нашем случае принимает вид
-S.+ «,(^' + яг-і-ї-а
Для метрики, отвечающей линейному элементу де Ситтера (8,4,6), имеем
ГІ4 = 0; Г|4 =--11--^rJ . 4. Космологические модели Эйнштейна и де Cummepa
301
Следовательно,
d}i 2r /__гМ"1 А* А*
Hs2 R1 [ R2 I as as
Это уравнение легко интегрируется и дает
W = aI1-I?-)
(8,4,12)
где h — постоянная интегрирования, которая может иметь только положительное значение и зависит от скорости движения источника. Для определения ее нужно воспользоваться линейным элементом (8,4,6), из которого непосредственно получаем
С помощью (8,4,11) и (8,4,12) выражение принципа Допплера приводится к следующему виду:
В частности, если источник излучения неподвижен, наблюдатель должен зарегистрировать красное смещение
возрастающее с приближением переменной г к радиусу модели.
Космологическую модель де Ситтера пытались привлечь для объяснения красного смещения в спектрах внегалактических туманностей. Однако эти попытки нельзя признать удачными, поскольку для вывода линейной корреляции между величиной красного смещения и расстоянием в модели де Ситтера приходится принять очень искусственное допущение о пространственно-временном распределении галактик.
5. Решение А. Фридмана. Если исключить линейный элемент Минковского СТО, то для однородной статической Вселенной уравнения поля имеют, как мы видим, только два решения, которым отвечают космологические модели Эйнштейна и де Ситтера» Сохраняя условие однородности, можно получить новые решения уравнений поля лишь при отказе от условия статичности. Впервые нестатическое решение уравнений поля ОТО получил А. Фридман [71, исследования которого были важным этапом в развитии релятивистской космологии.
4s- - *<' - тГ + * (' ~ -A-Ґ" I w\-
К + 6Х
2 302
Г лава VIII. Космология
Представим линейный элемент (8,4,5) в несколько иной форме, произведя преобразования г =R sini|). Выполнив подстановку, получим
ds2 = — R2 (d\f + sin2 ^dQ2 + sin2 ф sin2 od<p2) + dt2. (8,5,1)
При R = const этот линейный элемент соответствует статической модели Эйнштейна, в которой пространство представляет собой трехмерную сферу радиуса R. Отказавшись от условия R = = const, будем искать решение уравнений поля в предположении, что R является функцией времени.
Для упрощения последующих выкладок наряду с четырехмерной метрикой (8,5,1) будем рассматривать трехмерную метрику
