Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначив современное значение радиуса кривизны R2 через R9 получим соотношение
Ri = R - R (t2 - Z1) + 4 R (t% - Z1)2, из которого следует
RT1 = /г1 {l + R-lRit2 - Z1) + (R-2R2 —RT1 r) (Z2-Z1)2). Поэтому
= R-' R (t2 - Z1) + (R-2R2 - -і- R-1R) (Z2 - Z1)2.
Согласно условию ds = 0, расстояние источника излучения от наблюдателя, находящегося в начале координат, определяется
и
значением переменной ф = \ R~ldt. Воспользовавшись разло-
и
жением R-1 (Z) = R~l {1 — R~] R (t — Z2)), находим i|) = R (Z2 —
— + Y ^ ^2 ~~ ^2' 0ТКУДа с достаточной для наших целей
точностью получим Z2 — Z1 = Ryp--~ RRyp2.
Величина Rx\> представляет собой расстояние Z до источника излучения в момент наблюдения; следовательно, Z2- Z1 =- Z —
— -^R~lRl2. Внося это соотношение в предыдущее уравнение, 314
Г лава VIII. Космология
получим
№ а?)
Следует обратить внимание на то, что при выводе принципа Допплера (8,8,8) и вытекающей из него формулы (8,8,9) мы не пользовались уравнениями поля и основывались лишь на общем виде линейного элемента (8,8,4), оставляя функцию R (/) неопределенной. Спектральные линии должны смещаться в однородной космологической модели по закону (8,8,9) при любой форме уравнений поля, если только последние не противоречат упомянутому линейному элементу.
В релятивистской космологии приняты обозначения:
H = R^1R; q = - R-lRtT21 (8,8,10)
где H — постоянная Хаббла, q — так называемый фактор замедления. В этих обозначениях формула (8,8,9) имеет вид
-у- = Hl +-у (1 + q)H4\ (8,8,11)
Рассмотрим несколько подробнее случай Л = 0, р = 0, когда основные уравнения (8,8,5) переходят в следующие:
2R2 + RR + 2k = 4яр/?2; 3RR = — 4JtpR2. (8,8,12)
С помощью этих уравнений или на основе найденного выше общего закона (8,8,6) можно убедиться в том, что произведение pRz не изменяется со временем, вследствие чего можно положить За оа
р = >2— а » где а— постоянная интегрирования, которую можно
найти, задавая для какого-либо момента плотность космических масс и радиус кривизны пространства. Комбинируя это соотношение с (8,8,12), находим уравнение R2 +k = aR~~\ определяющее изменение кривизны пространства со временем. Ограничиваясь расширяющейся моделью, можно написать
R= YaR'1-к. (8,8,13)
Это уравнение показывает, что при k = О и k = — 1 расширение может начаться от состояния R = О и сопровождается монотонным возрастанием радиуса кривизны. Время расширения до некоторого R равно
R -L
о 8. Общая нестатическая модель
315
При указанных значениях параметра k это время вычисляется по формулам
i-l0 =1/Щ + 75- -fin (8Д14)
соответственно.
Если же пространство сферическое (k = 1), то радиус кривизны увеличивается только до точки R = а, в которой расширение модели сменяется сжатием. Этот случай соответствует осциллирующей модели Эйнштейна, которая, как уже указывалось, не отвечает современным данным о Метагалактике.
В заключение рассмотрим еще космологическую модель, отвечающую условиям р = 0, k = — 1 при Л^О. Нетрудно убедиться в том, что для расширяющейся модели система (8,8,5) приводит в этом случае к уравнению
R=Y 1 + а/Г1+ ЛЯ2.
При положительной космологической постоянной модель расширяется монотонно. Если же Л < 0, то полином а + R + -^-AR3
имеет положительный корень R1. Поэтому радиус кривизны возрастает только до точки Rlt в которой расширение сменяется сжатием: модель оказывается осциллирующей. Время расширения модели до данного R < R1 равно
R
t- U = J_^_P. (8,8,15)
0 / і \т (і+а/Г1+— ЛЯ*)
9. Сравнение космологических моделей с наблюдениями. Сравнение космологических моделей с действительными свойствами окружающего нас мира основано на существующих оценках средней плотности вещества в Метагалактике и на результатах измерения красного смещения, наблюдаемого в спектрах внегалактических туманностей. Средняя плотность космического вещества выводится из наблюдаемого распределения галактик в пространстве и из определения масс галактик; по современным оценкам, как уже указывалось, она составляет около IO""31 г • смгъ.
Красное смещение в спектрах галактик характеризуется параметрами (8,8,10). Первым из них является постоянная Хаб-бла, значение которой выведено из достаточно большого числа 316
Г лава VIII. Космология
наблюдений после весьма тщательного и всестороннего обсуждения; оно составляет около 75 км • сек~1/мпс. Второй параметр определяет уклонение красного смещения от линейной корреляции Хаббла; в настоящее время уверенных его оценок не существует. Анализ наблюдений и их сравнение с соотношением (8,8,11) показывают, что по порядку эта величина близка к единице и заключена, по* видимому, в пределах от 0 до 1. Подробный обзор современного состояния вопроса о наблюдательных основах космологии можно, найти в 1121.
В дальнейшем принимаются следующие значения упомянутых параметров с системе CGS:
р~ 10~31 г-см~3; H^ 2 - IO"18 сек'1; q~ 1.
Согласно (8,8,10), эти величины позволяют найти отношения R R
и независимо от конкретной формы космологической модели.
