Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ § 1. Введение
Изучение распространения света в гравитационном поле приводит, как известно, к двум релятивистским эффектам (искривление луча и смещение спектральных линий), которые допускают эмпирическую проверку путем астрономических наблюдений и являются важнейшими результатами теории относительности в этой области. Астрономический интерес эти эффекты представляют только в простейшем случае статического поля одного центра, когда теория их носит вполне элементарный характер.
Первая попытка теоретического исследования влияния поля гравитации на распространение света была предпринята Эйнштейном еще в 1907 году [84]. Однако лишь четыре года спустя, опираясь на принцип эквивалентности инерции и тяготения, Эйнштейну удалось получить основные количественные результаты [85]. Принцип эквивалентности приводит к заключению об ограниченности постулата постоянства скорости света и о зависимости последней от потенциала поля тяготения. Эйнштейн получает формулы
V = Vo(l +?, C-Co(l + cl), (IV,1,1)
выражающие зависимость частоты колебаний v и скорости распространения света с от потенциала поля ф. Первая из этих формул определяет релятивистский эффект «красного смещения» в поле гравитации. Пользуясь вторым соотношением, Эйнштейн рассматривает задачу об искривлении светового луча в центральном поле тяготения и приходит к следующей формуле для угла отклонения луча
где у — гравитационная постоянная, M — масса центра, А — рас" стояние от центра до ближайшей к нему точки луча.
128 В действительности угол отклонения светового луча имеет, как известно, в два раза большую величину. Различие обусловлено тем обстоятельством, что в [851 Эйнштейн, принимая во внимание переменный характер скорости света, пользуется в своем расчете эвклидовой геометрией. Позднее, в статье [86], опубликованной вслед за рядом основных работ по теории гравитации, Эйнштейн констатирует эту ошибку и указывает, что правильный результат f должен быть в два раза больше. Впоследствии Эйнштейн неоднократно возвращается к обсуждению обоих эффектов (см., например, [13]).
В настоящее время приближенную теорию вопроса можно найти почти во всех руководствах по теории относительности. Точная теория распространения света в поле одного центра изложена в статье автора [87], в которой изучается траектория луча и эффект Доп-плера. Развитая Толманом [88| общая теория эффекта Допплера приложена автором к случаю статического поля [89].
Следует указать также на несколько статей, в которых изучаются явления, вызываемые отклонением световых лучей в поле тяготения звезд [90—93], в частности на работы Г. А. Тихова, изучавшего фотометрические эффекты, обусловленные этим отклонением [94].
Отметим затем работу Минора, в которой формула Эйнштейна для угла отклонения луча обобщается на случай, когда масса центра тяготения является функцией времени [95].
Многочисленные работы по изучению законов распространения света в гравитационных полях связаны с так называемой релятивистской космологией. Таковы, например, статьи Вейля [96], Цвик-ки [97], Лауэ |98], Колера [99] и целого ряда других авторов. Работы этого направления, имеющие целью выяснить особенности распространения света в различных статических и нестатических «вселенных», с нашей точки зрения не имеют прямого астрономического значения.
В настоящей главе дана элементарная теория распространения света в гравитационном поле. Изложение ограничивается, главным образом, случаем статического поля одного центра, который, как было уже указано выше, остается до сих пор единственным случаем, представляющим непосредственный интерес.
§ 2. Траектория луча
Предположим, что распространение света происходит в поле одного центра с постоянной массой m. В общем виде задача состоит в исследовании уравнений геодезической линии, преобразованных в соответствии с условием ds = 0, при помощи которого в теории относительности описываются особенности распространения света. При этом мы можем воспользоваться результатами гл. III.
Рассмотрим формулу (III, 1,8), определяющую общее уравнение траектории свободной частицы в поле одного центра. Легко
9 735
129 вицеть, что условие ds = О эквивалентно требованию h = оо, тогда как постоянная C1 согласно (III, 1,7) остается конечной. Поэтому, сохраняя прежние обозначения, имеем а = оо и ar2(h2—1)=
Є=- г —2
C= C1 .
Формула (III, 1,8) приводит к следующему дифференциальному уравнению луча
(%)% + u2 - 2ти3 - cI"2 = а (IV' 2Л)
Нетрудно убедиться в том, что постоянная C1 геометрически представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из центра поля на направление луча в удаленной от центра области. Действительно, в этой области член 2ти? вследствие его малости может быть опущен, и уравнение (IV, 2,1) принимает вид
і du 2 —2 л
Решение этого уравнения
и = C~l sin (G) — ф),
где о) — постоянная интегрирования, показывает, что в достаточно удаленной от центра области луч имеет форму прямой. Обозначая перпендикуляр, опущенный на эту прямую, через а, имеем C1 =а. Исследуем корни трехчлена
