Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богородский А.Ф. -> "Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии" -> 46

Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.

Богородский А.Ф. Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии — Киев, 1962. — 197 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniepolyaeynshteyna1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 68 >> Следующая


/ dx1 dxj \2 , ,

где производные I'^j представляют собой компоненты скоростей

источника (а = 1) и наблюдателя (а = 2) в моменты излучения и наблюдения соответственно. Следовательно,

Г

W=Wgti** ^ h. (IV,3,1)

Л dx* 1

1 \ g .dAdAf

И' d*4

Формула (IV, 3,1) является общим релятивистским выражением

dx\

принципа Допплера. Входящая в это выражение производная —?

dx j

должна быть вычислена в зависимости от законов движения источника и наблюдателя и формы луча.

Приложим общую формулу (IV, 3,1) к случаю статического поля, структура которого позволяет построить ортогональную систему координат, т. е. привести к нулю все gij при І ф у.

Для подобного поля линейный элемент можно написать в виде

ds2 = gaadx*2 + gudx*2-1 (IV, 3,2)

В соответствии с выражением для пространственного элемента da2 = —gaadx®2, определим модуль пространственной скорости формулой

2 (dxa\2

при помощи которой квадратичную форму (IV, 3,2) можно переписать следующим образом

ds2 = (g44 ~ v2) dx42 = (V2 - xf) dx*2> (IV, 3,3)

где V — скорость света, определяемая условием ds = 0. Сумма

dx1 dx'

giifaiML* входящая в общее выражение принципа Допплера,

1 Здесь через а, ? ... обозначены индексы суммирования, принимающие значения 1, 2, 3.

137 в рассматриваемом случае равна V2 — V2t вследствие чего это выражение приводится к виду

ь + бх,2 -2 (IVA4)

dx\ V VJ-v\ '

где Vi, V2 — скорости источника излучения и наблюдателя, Vu V2 — значения скорости света в точках излучения и наблюдения.

dxA

Переходим к вычислению производной . Напишем выраже-

dx\

ниє для промежутка времени, в течение которого свет распространяется от точки х\ до точки х%; согласно (IV, 3,2) он равен

I-*? = J-J^^d**.

?аа dx? ?44 dx

Криволинейный интеграл должен быть взят вдоль луча, соединяющего точки Xu Х*2.

Варьируя линию интегрирования при фиксированных начальной и конечной точках и при постоянном имеем

I

Нетрудно убедиться в том, что эта вариация равна нулю.

Составим уравнения, определяющие пространственную траекторию луча. Согласно (III, 1,3), уравнения инерциального движения в статическом поле (IV, 3,2) имеют вид

±[*SL**-\-J-^V-и а — 1 2 3

Произведя преобразование

1 dgд ^df g/A _ Zu dxa дха \ Su) gli дх° [ ?44)

и принимая во внимание, что для света должно быть выполнено равенствоgu dxiz =0, перепишем эти уравнения следующим образом

По отношению к интегралу

J ёи \ dX*) 1

соотношения (IV, 3,5) представляют собой систему уравнений Эйлера—Лагранжа, являясь условием его экстремальности.

138 Следовательно,

2

бГ San ^djflss0 (IV, 3,6)

J #44 ^4 I

Это показывает, что при распространении света в статическом поле выполняется принцип Ферма.

Образуем далее полную вариацию интеграла

J ?44 ^4 1

варьируя не только линию интегрирования, но и пределы его; имеем

&J - б*; - f [ - ? g ^ + б (- ^ g л.) ] -

2



1

где через Г, 2', обозначены точки с координатами ха\ + 6*?, Л'2 + 6^2 соответственно. Простое преобразование дает

6^-^=^(-? g H+1 - ^f S->+

Г 1'

2'

+ ["1Tl T^dJfl.

J ^4

2

Отождествим вариации б*?, 6x2 с действительными перемещениями djC01, ^jc02 источника и наблюдателя в течение элементарных промежутков времени ^x14, dx*2 . Первый член полученного выражения исчезает по условию (IV, 3,6); остальные члены дают

ах2 ах, - L ^44 0*4 Их 1 + ^44 o*4 J**»

где через (^г). обозначены компоненты пространственной скорости

света в точках излучения (/ = I) и наблюдения (i = 2). Поэтому dx4

для производной -J в (IV, 3,4) получаем формулу dx\

К ^ 1 gu b*Adx* I1

dx* 1 —j — -а I '

gu bx* dx4 J2

139 Угол между двумя пространственными элементами da, ба, величины которых определяются соотношениями

do2 = — Saadxa21 ба9- = — gaabx«*

выражается очевидной формулой

Saa^bxa

cos (da, ба)

dabo

Отождествив эти элементы с элементом луча и перемещением частицы, движущейся со скоростью Vt имеем da = vdx*, до =Vdxl. Следовательно,

/ , І/Ч ^aa bxn dxa cos (V1 V) =--— ^r -т-т

или

gaa bxn dxa v , 1/ч

- — = Ю-

g44 бд:4 ^4

Это приводит к следующей формуле для искомой производной

dx\ dx*

1 — ^ cos (V11 V1)

V2

1 — I/- cos (u2, ^2)

4 9

Таким образом, в рассматриваемом случае статического поля выражение принципа Допплера принимает вид

X V2

1 — -у- cos (v2t IZ2)

[ыТ

(IV, 3,7)

Рассмотрим (IV, 3, 7) несколько подробнее.

Первый множитель правой части является простым обобщением классического выражения принципа Допплера. Этот множитель показывает, что в допплеровском смещении частот основную роль играют проекции полных скоростей источника и наблюдателя на направления касательных к лучу в точках излучения. При этом учитывается также уклонение скорости света от постоянной с.

Второй множитель определяет эффект полных скоростей, найденный, как известно, еще в специальной теории относительности.

В отсутствие гравитационного поля, когда gaa =— 1» ?44 = = C21 соотношение (IV, 3,7) превращается в известную формулу специальной теории относительности
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed