Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
/ dx1 dxj \2 , ,
где производные I'^j представляют собой компоненты скоростей
источника (а = 1) и наблюдателя (а = 2) в моменты излучения и наблюдения соответственно. Следовательно,
Г
W=Wgti** ^ h. (IV,3,1)
Л dx* 1
1 \ g .dAdAf
И' d*4
Формула (IV, 3,1) является общим релятивистским выражением
dx\
принципа Допплера. Входящая в это выражение производная —?
dx j
должна быть вычислена в зависимости от законов движения источника и наблюдателя и формы луча.
Приложим общую формулу (IV, 3,1) к случаю статического поля, структура которого позволяет построить ортогональную систему координат, т. е. привести к нулю все gij при І ф у.
Для подобного поля линейный элемент можно написать в виде
ds2 = gaadx*2 + gudx*2-1 (IV, 3,2)
В соответствии с выражением для пространственного элемента da2 = —gaadx®2, определим модуль пространственной скорости формулой
2 (dxa\2
при помощи которой квадратичную форму (IV, 3,2) можно переписать следующим образом
ds2 = (g44 ~ v2) dx42 = (V2 - xf) dx*2> (IV, 3,3)
где V — скорость света, определяемая условием ds = 0. Сумма
dx1 dx'
giifaiML* входящая в общее выражение принципа Допплера,
1 Здесь через а, ? ... обозначены индексы суммирования, принимающие значения 1, 2, 3.
137в рассматриваемом случае равна V2 — V2t вследствие чего это выражение приводится к виду
ь + бх,2 -2 (IVA4)
dx\ V VJ-v\ '
где Vi, V2 — скорости источника излучения и наблюдателя, Vu V2 — значения скорости света в точках излучения и наблюдения.
dxA
Переходим к вычислению производной . Напишем выраже-
dx\
ниє для промежутка времени, в течение которого свет распространяется от точки х\ до точки х%; согласно (IV, 3,2) он равен
I-*? = J-J^^d**.
?аа dx? ?44 dx
Криволинейный интеграл должен быть взят вдоль луча, соединяющего точки Xu Х*2.
Варьируя линию интегрирования при фиксированных начальной и конечной точках и при постоянном имеем
I
Нетрудно убедиться в том, что эта вариация равна нулю.
Составим уравнения, определяющие пространственную траекторию луча. Согласно (III, 1,3), уравнения инерциального движения в статическом поле (IV, 3,2) имеют вид
±[*SL**-\-J-^V-и а — 1 2 3
Произведя преобразование
1 dgд ^df g/A _ Zu dxa дха \ Su) gli дх° [ ?44)
и принимая во внимание, что для света должно быть выполнено равенствоgu dxiz =0, перепишем эти уравнения следующим образом
По отношению к интегралу
J ёи \ dX*) 1
соотношения (IV, 3,5) представляют собой систему уравнений Эйлера—Лагранжа, являясь условием его экстремальности.
138Следовательно,
2
бГ San ^djflss0 (IV, 3,6)
J #44 ^4 I
Это показывает, что при распространении света в статическом поле выполняется принцип Ферма.
Образуем далее полную вариацию интеграла
J ?44 ^4 1
варьируя не только линию интегрирования, но и пределы его; имеем
&J - б*; - f [ - ? g ^ + б (- ^ g л.) ] -
2
1
где через Г, 2', обозначены точки с координатами ха\ + 6*?, Л'2 + 6^2 соответственно. Простое преобразование дает
6^-^=^(-? g H+1 - ^f S->+
Г 1'
2'
+ ["1Tl T^dJfl.
J ^4
2
Отождествим вариации б*?, 6x2 с действительными перемещениями djC01, ^jc02 источника и наблюдателя в течение элементарных промежутков времени ^x14, dx*2 . Первый член полученного выражения исчезает по условию (IV, 3,6); остальные члены дают
ах2 ах, - L ^44 0*4 Их 1 + ^44 o*4 J**»
где через (^г). обозначены компоненты пространственной скорости
света в точках излучения (/ = I) и наблюдения (i = 2). Поэтому dx4
для производной -J в (IV, 3,4) получаем формулу dx\
К ^ 1 gu b*Adx* I1
dx* 1 —j — -а I '
gu bx* dx4 J2
139Угол между двумя пространственными элементами da, ба, величины которых определяются соотношениями
do2 = — Saadxa21 ба9- = — gaabx«*
выражается очевидной формулой
Saa^bxa
cos (da, ба)
dabo
Отождествив эти элементы с элементом луча и перемещением частицы, движущейся со скоростью Vt имеем da = vdx*, до =Vdxl. Следовательно,
/ , І/Ч ^aa bxn dxa cos (V1 V) =--— ^r -т-т
или
gaa bxn dxa v , 1/ч
- — = Ю-
g44 бд:4 ^4
Это приводит к следующей формуле для искомой производной
dx\ dx*
1 — ^ cos (V11 V1)
V2
1 — I/- cos (u2, ^2)
4 9
Таким образом, в рассматриваемом случае статического поля выражение принципа Допплера принимает вид
X V2
1 — -у- cos (v2t IZ2)
[ыТ
(IV, 3,7)
Рассмотрим (IV, 3, 7) несколько подробнее.
Первый множитель правой части является простым обобщением классического выражения принципа Допплера. Этот множитель показывает, что в допплеровском смещении частот основную роль играют проекции полных скоростей источника и наблюдателя на направления касательных к лучу в точках излучения. При этом учитывается также уклонение скорости света от постоянной с.
Второй множитель определяет эффект полных скоростей, найденный, как известно, еще в специальной теории относительности.
В отсутствие гравитационного поля, когда gaa =— 1» ?44 = = C21 соотношение (IV, 3,7) превращается в известную формулу специальной теории относительности