Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
f(u) = 2mu3 — и2+ а-2.
При и = 0 этот трехчлен имеет максимум, равный а-2, и минимум, равный а-2--27^2" • Поэтому полином f(u) имеет: 1) при
а < 3|/3т один отрицательный корень; 2) при G=SyrSmABoftHoft положительный корень, равный 1 : 3т, и отрицательный корень, равный — 1 : 6т; 3) при а > 3|/^3т два положительных корня, один из которых лежит в промежутке 0,1 : Зт, а другой превосходит 1 : Зт, и один отрицательный корень.
Переменная и может совпадать лишь с двойным корнем при а = 3}/3 тис меньшим из положительных корней при а > 3)^3 т. Принимая во внимание уравнение
щг* + и — Зт"2 = °>
непосредственно вытекающее из (IV, 2,1), приходим к заключению, что переменная и имеет максимум в промежутке 0, 1 : Зт при а > З^Зт. Этот максимум совпадает с меньшим положительным корнем функции / (и).
Пусть значение переменной ф, соответствующее этому максимуму, будет фш.
130 ИмееМ при а<ЗКЗт ^ = (IV,2,2)
при а > 3 КЗ т ~ = Vflu), Ф < <pm (IV, 2,3)
% = -Vm, Ф>Фт. Рассмотрим случай а <! т. По формуле (IV, 2,2) получаем
"—""Мгж- те2Л
Если а =з 0, то (IV» 2, 4) дает <p = const, что указывает на прямолинейное распространение луча вдоль радиального направления. При этом уравнение (III, 1, 7) при соответствующем направлении распространения превращается в следующее
&г_ __Л _2т\
dt - Г 'j
и имеет интеграл ^r (г — 2m)2m = Ce-', где С — постоянная интегрирования. Положив t оо, находим г 2т. Поэтому рассматриваемый прямолинейный луч заканчивается на гравитационной поверхности г = 2т.
Если a = 3]/3 т, то уравнение (IV, 2, 4) допускает решение и — 1: Зт, определяющее круговую траекторию. Общее решение уравнения (IV, 2, 4) имеет в этом случае вид
ф = const + In .— Y /3 — Vbmu + 1
При и 1 :3m это решение дает <р оо, показывая, что луч имеет форму спиралевидной кривой, асимптотически приближающейся к окружности и = 1 :3т.
В промежуточном случае, когда О < а < 3J/3 т, по формуле (III, 1,7) получаем
t = const -fa-1 Г-—-7=.
J ы2(1 -2ты) //(и)
U0
Здесь верхний предел интегрирования может только возрастать.
Не производя вычисления, заметим, что при всяком и < 1:2т интеграл, а следовательно и время распространения остается конечным. Если же и 1 : 2 т, то интеграл неограниченно возрастает, вследствие чего t оо. Поэтому при а < 3)/^3 m луч также .заканчивается на гравитационной поверхности массы. Полярный угол конечной точки находится по формуле
1:2т
. Г du
ф=ф0+] Vm
U9
вытекающей из (IV, 2,2).
9* 131 На рис. 9 представлены лучи при О а <! 3)/3 т.
Переходим к случаю а > 3]/3 т, когда луч имеет экстремальную точку. Значения переменных ф, и> соответствующие этой точке, обозначим через фш, ит.
Полярные углы ф, ф' точек, лежащих по обе стороны от экстремальной точки, определяются, согласно (IV, 2,3), формулами
и
і Ґ du
о
т
ф' = фо + 2 ( Г-
Y Y .! Vf(U) Jv
du
f(u)
о о
Пусть корни трехчлена f(u) в порядке их возрастания будут иъ и* и*. Введем новую переменную Ф при помощи соотношения
U = Ui-f (и2 — Ui) sin2®,
из которого следует
уJJu) = (и2 — Ui) V 2т (и3 — H1) (1 — к2 sin2 Ф) sin Ф cosФ,
U2 _ U2- U1
где k ~ •
Принимая во внимание, что ит = u2l можно переписать приведенные выше формулы следующим образом
Ф Ф0
, 2 (CdQ) Г d<bx
Ф = ф0+У2яфа-Ц1) (Jsg-J Ш)'
О о
JS (IV, 2,5)
2 ф фв
, 2 !'CdO Г dO С d<b\
ф + (2Jsd- J^-J Щ*
ООО
где для краткости принято ДФ = УI—k2 sin2 Ф.
При помощи (IV, 2,5) найдем выражение для угла, образованного радиусами-векторами двух точек, симметрично расположенных относительно точки максимума. Имеем
п
2 ф
ф — ф =
ffA-fS). (IV, 2,6)
/2т (W3-W1) Ij ЛФ J ДФ/
О О
Разность полярных углов асимптотических направлений определяется формулой
Ji
2 ф0
132 Если а достаточно близко к 3 |/3 т, то эта разность может иметь сколь угодно большое значение. В- самом деле, при а -> 3^3 т имеем U1-— 1 : 6/n, U2 и3 -> 1 : Зт, вследствие чего k 2-> 1,
Ф0 ->arcsin TTT-. Поэтому полный эллиптический интеграл в (IV, 2,7)
У O
неограниченно возрастает, тогда как неполный стремится к конечному пределу. Далее, пусть п — целое число, удовлетворяющее условию
2ші < фо — фо < 2 (п + I) я.
В таком случае луч имеет п двойных точек; соответствующие им значения переменной Ф определяются формулами
_я
.?=?-!^2^^)' '-I.-". dV, 2,8,
О о
вытекающими из (IV, 2,6), если положить ф' — ф = 2л/. Вычисление этих значений можно выполнить следующим образом.
Отыскав корни функции f(ii), например по формулам тригонометрического решения, которые в данном случае будут иметь вид
ii-gi^l + 2cos^), і = 0,1,2,
tri2
где cos Ф = 1 — 54 -г
ф
Г dQ)
найдем при помощи (IV, 2,8) п значений интеграла \ дф. Входя
о
затем в таблицу эллиптических интегралов с данным k, получим искомые значения Ф.
Координаты двойных точек находятся по формулам
Ud=U1 + (U2 — U1) sin2®, = у (фо + фо) — ш.
На рис. IO изображен луч, имеющий одну двойную точку.
