Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Следует иметь в виду, что помимо перемещения линии апсид согласно формуле Эйнштейна (III, 7,7), в движении искусственных спутников Земли могут проявиться и другие релятивистские эффекты, в частности эффекты, зависящие от вращения Земли. Для планет солнечной системы эти эффекты впервые изучались еще Ленсе и Тиррингом [76], формула которых применялась в последнее время к искусственным спутникам Земли В. Л. Гинзбургом [77].
В данном параграфе рассматриваются вековые релятивистские эффекты в элементах орбиты искусственного спутника Земли [78]. Уравнения движения спутника, составленные с учетом вращения Земли, исследуются по методу вариации элементов классической небесной механики.
Согласно (III, 1,2) уравнения движения спутника можно писать в виде
где TkIf — трехзначковые символы Кристоффеля, известным образом выражающиеся через составляющие метрического тензора и их первые производные; а, ? — индексы суммирования, принимающие значения 1, 2, 3, 4.
Введем декартову геоцентрическую систему координат х° = = xf yf Zf ориентированную таким образом, чтобы плоскость ху совпадала с плоскостью экватора, а ось z была направлена по оси
116 вращения Земли. Для упрощения последующих вычислений допустим также, что ось у совмещена с линией узлов невозмущенной орбиты спутника. Составляя уравнения движения, будем считать ныотонианский потенциал ф величиной первого порядка, а составляющие скорости спутника — порядка у. Легко убедиться в том, что в уравнениях движения член первого порядка содержится в Гф|, входя в выражение ^ . Поскольку главный пере-
^ дх
менный член в gu согласно (II, 11,7) равен — 2ф, в уравнениях
дф
движения содержатся производные ^, отвечающие ньютониан-
скому приближению. Поэтому уравнения движения можно писать в виде
dI=X01 а = 1, 2, 3, (111,8,1)
dt*
дх'
обозначая через X0 совокупность остальных членов, представляющих релятивистские поправки к закону движения Ньютона.
Соотношения (III, 8,1) можно рассматривать как уравнения движения, происходящего под действием центральной ньютониан-ской силы и возмущающего ускорения с декартовыми проекциями X0 == X, Yj Z. Для исследования этих уравнений можно применить метод вариации элементов.
Как и прежде, представим ковариантные составляющие метрического тензора в виде gij= &и + hij. Вычисляя символы Кристоффеля с точностью до членов второго порядка относительно величин ha и их производных по координатам, а также, принимая во внимание стационарность поля гравитации равномерно вращающейся Земли, получим следующие выражения для проекций возмущающего ускорения
Рис. 8.
Xa= -^-^-(Au + 2Ф)-
2 дх° ' дха 4* dt
1 ,
~2 flOd
^44
дх°
^at
дх°
dh,
_04
дха
dxa dt
+
Jl dKa fdxa\2 J_ dh44^ dx?_ dxP_ 2 dxa \ dt I + с2 dxa dt dt
(HI, 8,2)
117 Множитель -^a введен здесь в связи с переходом от релятивистской единицы времени к обычной. Пусть Ri S, W — проекции возмущающего ускорения на радиус-вектор спутника, на перпендикуляр к нему и на нормаль к плоскости орбиты соответственно (рис. 8). Обозначив через аь O2, а3, ?b ?2, ?3, Yi> y2i ys углы, образованные направлениями Ri S, Wc осями координат, имеем
R = Xcos CL1 + Y cos O2+Z cos а3,
S = Xcosp1 + Y cos ?2 + Zcos ?3,
W = Xcos уі+Y cos Y2 + Z cos y3. (III, 8,3)
При этом
cos (Z1 =э cos (со + u), COS O2 = sin (со -f v) cos /, COS Ot3 = sin (со -J- v) sin /; COS ?i = — sin (CO + V), COS ?2 =COS (со -f v) cos/, COS ?3 =COS (CO+ u) sin/; Cosyi = O, cos Y2 = — sin /, cos уз =cos /,
где через со обозначено угловое расстояние перигея от восходящего узла, / — наклонность орбиты спутника к экватору, v — истинная аномалия.
Воспользуемся известными уравнениями небесной механики, определяющими производные по времени от оскулирующих элементов орбиты в зависимости от проекций возмущающего ускорения. В общепринятых обозначениях эти уравнения имеют вид
dQ г sin (со + V)
dt Па2 Yl — е2 sin і di _ г cos ((о + у) ^e
~~ па2 Y 1-е* '
W\
d(d _ V 1 — Є2 cos Vpt
ЧГ ~ na? К +
+ + JL)sinu . S -rsln{«±l^uW;
пае \ 1 pj па2 V 1-е2
da 2es\nv r^ . 2а V 1 — е2 о - К ~г -*з)
1 ик 1
dt nY I-
' а2 (1 — е2)
^e — * 1 — g2sint; р у 1-е W ~~ па ^ па2е
г] 5;
da 1 / 2г 1-?2 л l|D о — =-----cos V R--1 -+ — siny-S.
dt па \ а е 1 пае \ P ,
Здесь а, р, е — большая полуось, фокальный параметр и эксцентриситет орбиты спутника, п — среднее движение, а величина а связана с моментом т прохождения через перигей соотношением а — — пх
118 Изучая возмущения первого порядка, можно преобразовать написанные уравнения с помощью законов Кеплера. Последние можно представить в виде
J___з Jl
r = I = -XT' п = ст*р 2 (1 -е2)3, (III,8,4)
2 2 cm р
где принято т = уM : с2 .
Уравнения для оскуллирующих элементов легко приводятся к виду dQ __ sin (<о + V) ^ di_ = cos (<о + р) ^цр dv ^mp sin/ ' du с2тр 9
d(o __ cosu , (2 + g cos v) sin г; __ sin (<o + v) cot * Offiy "dv ~~ с2/лрс ro c2mp ^ '
da _ 2pg sin у 2p 2p2 9
Jy ~~ c2m (1 — e2)2 A ^r C2HiO — ?2)2
