Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
d? _ sinu g+ 2 cos ecos2u
c2mp r^i
da Vl — e2 /0 о 4 1 r»
_ =----(2e — cos V — e cos2 v) rR —
dv c2mpe v '
- Vc2mpec <2 + * C0S Sin 0 ' r3S- (111' 8'5)
Входящие в (III, 8,5) проекции возмущающего ускорения вычисляются для поля гравитации вращающейся Земли.
Пользуясь полученными в предыдущей главе решением (II, 11,7) и принимая во внимание очевидные соотношения
X == г cos (со + u), у = г sin (со + v) COS І, Z = г sin (со -f u) sin і,
найдем декартовы проекции возмущающего ускорения по формулам (III, 8,2). Внося затем найденные значения декартовых проекций в (III, 8,3), получим после необходимых преобразований и упрощений
і з
D с2т2 / 2 , 1— е2+4e2sin2 v\ . 4 T T п2 .1
#=-72-(7- +-—р-)+~WcP т ^R20COSI^r-
2 та)2 R2 3/жо2Я4 --^T1 + -I^jl [3 Sin2 (со + V) SinH - 1],
__L JL
SAc2ITl2 . 4 2 4 п9 . sinu = -^3-esinu—-у ср т (OoRlecosi-ja--
6 1
— mco;;/?* sin2 / sin (со + t;) cos (со + і;) —, (III, 8,6)
__LA
W--=4-cp 2 m2 cu0/?o sin i-jj [—e sin co + (2 + 3e cos v) sin (co-j-u)]--
б/жо2/?4
0 sin і cos і sin (со + v).
119 Система уравнений (III, 8,5) вместе с приведенными выше значениями проекций /?, S, W вполне определяет релятивистские возмущения в элементах орбиты спутника. Однако общее исследование этих уравнений не заслуживает внимания. Интерес могут представить только вековые эффекты, к изучению которых мы и переходим.
Поскольку поле тяготения равномерно вращающейся Земли является стационарным, для вычисления вековых изменений элементов орбиты достаточно интегрировать производные от элементов в пределах одного полного обращения.
Внося последнюю из величин (III, 8,6) в первое уравнение системы (III, 8,5), получим
dQ __ Arn (JdoR0 ^— е sin ш (2 + cos v) sin (со +1>)] sin (со -f v) — av bcp '*
Qdi2R4 cos і
--Ibc2P2 (l+ecosv)sin2 (<° + u)'
Выполняя указанное интегрирование, находим следующее выражение для угла поворота линии узлов в течение одного обращения спутника
Л 8яCD0^nm 2 блсо2R*
дй = —Ч- -Wcosi-
Ъср 2
Отношение второго члена к первому по абсолютной величине не превышает 0,6 • IO-2, вследствие чего членом с квадратом угловой скорости можно пренебречь.
Аналогично находятся изменения других элементов орбиты. При этом вариация в моменте прохождения через перигей вычисляется из соотношения At = — —, поскольку большая полуось
орбиты, а, следовательно, и среднее движение не испытывают вековых изменений.
Выполнив необходимые вычисления, получим Aa =а Ae S= А і = 0,
л бяуМ 24л (уМ) 2accost А(° с2а(\-е2)--1-— ' (111' 8'7)
5с2 д 2 (1 __ е2) 2
AQ= , At = (5-2^1-^).
Ъс2а 2 (1 — е2) 2 с2(\—е2)2
Мы видим, что вековые релятивистские эффекты имеются в движении линии апсид и линии узлов, а также в моменте прохождения
120 через перигей, тогда как в большой полуоси, эксцентриситете и наклонности вековые изменения отсутствуют. Первый член в выражении Aco представляет собой обычный релятивистский поворот линии апсид, отвечающий формуле Эйнштейна. Второй член определяет дополнительное перемещение перигея, обусловленное вращением Земли и зависящее от наклонности орбиты спутника к экватору. Перемещение узлов также обусловлено вращением Земли, но не зависит от наклонности орбиты. Что же касается векового эффекта в моменте прохождения через перигей, то он не обнаруживает заметной зависимости от вращения Земли (выражение для at содержит член с квадратом угловой скорости; в (III, 8,7) этот член опущен).
Все величины (III, 8,7) выражены в единицах системы CGSi Aco и AQ — в радианах. Если массу Земли исключить с помощью третьего закона Кеплера, периоды обращения и вращения выразить в сутках, перемещения перигея и узлов — в секундах дуги, то за столетие вариации элементов орбиты составят
д _ 5л2q2/___x2r2jcos/
24с2г3 (1 — е2) JL
Qc2T2P (I — е2)2
(111,8,8)
AQ=-Ar=-?^(5-21/1=?
18с2Т2Р (1 — е1) 2 72C2T2 (1 — е2) 2
где через / обозначено число суток в году, а период P вращения центрального тела (равный в данном случае единице) сохранен из соображений общности.
Иллюстрируем полученные формулы числовыми примерами. Положив a = R = 6,4 • IO8 см, е = 0, со0 = 7,3 . IO-5 сект1, найдем предельные значения релятивистских вариаций элементов орбиты спутника Земли. За столетие эти вариации составляют
Aco = 1660" — 74" cos f, AQ = 25", At = 33s.
Воспользовавшись начальными элементами орбиты третьего советского ИСЗ, получим за то же время
Aco = 1100" — 20",6, AQ = 16",3, At = 16s,4.
Обычный релятивистский эффект в движении линии апсид достигает довольно значительной величины (для ИСЗ с достаточно большой продолжительностью существования он может составить около IOOOvB столетие), тогда как эффекты вращения в Ao и AQ, обнаружение которых представило бы особенно большой интерес, оказываются весьма малыми вследствие относительно медленного вращения Земли. Эти эффекты значительно больше в поле тяготения Юпитера. Так, например, для V спутника Юпитера (а = = 1,81 • 1010 см, 6 = 0,003, і = 3°, 1) второй член в выражении Aco
