Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
реперов исходя из их известных действительных позиций), поскольку в этом
случае как ортогонализация, так и обращение матрицы Грама проводится
только один раз, а затем используется многократно. В этом смысле можно
считать, что трудоемкость подготовительных расчетов - ортогонализации и
обращения - имеет второстепенное значение.
Точность определения позиций реперов р (х), конечно, никогда не является
одинаковой по всему полю Q и во многих случаях ухудшается по краям.
Поэтому представляется полезным использование весовой функции вида
w (х) = 1/р2 (я), (30)
если можно предложить разумную аналитическую модель точности р (х). Веса
(30) имеют больший физический смысл и лучше соответствуют характеристикам
калибруемого прибора. Пример их практи-
ПРОБЛЕМЫ КАЛИБРОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 1005
ческого использования в случае спирального измерителя будет дан ниже.
При проводимых периодически прямых калибровках может оказаться, что набор
измеренных координат реперов не постоянен (не на каждом кадре видны все
реперы), а сами координаты и точности их определения подвержены дрейфу;
тогда было бы желательно применять быстрый и эффективный метод
ортонормировки, приводящий к единичной матрице Gs для конкретного набора
координат и их ошибок. В этих целях удобнее вернуться к общему
определению (28) и ввести меру в виде
N
Ф- = S wtb(x - xt)dx, (31)
i=l
где вес wt выражается через точность AFt определения г-го репера:
w, = 1/(AF f)2,
б (х - Xi) - дельта-функция Дирака; xi - наблюдаемые координаты г-го
репера, а N - общее число реперов. Подстановка (31) в (28) приводит к
выражению скалярного произведения через конечную сумму:
N
(/. е) = 2 / (xt) u>ig (xt)- (32)
1
Базис, полученный при помощи скалярного произведения этого типа,
называется ортонормированным на дискретном точечном множестве. Поскольку
множество это было выбрано совпадающим с множеством наблюдаемых координат
реперов, а веса определены в соответствии с точностью определения
координат, то нетрудно убедиться, что в этом базисе
Gj - I (33)
и уравнение (26) непосредственно дает a j = tj, т. е. коэффициенты
разложения искомого преобразования калибровки являются скалярными
произведениями наблюдаемого вектора F на соответствующие базисные
векторы. Из (33) видно также, что обусловленность решаемой вадачи (25)
единична (т. е. оптимальна).
Известно, что при скалярном произведении вида (29) число элементов
генерируемого ортонормированного базиса не ограничено. Однако так как
ограничено само число реперов N, в принципе можно использовать только
первые N полиномов, а на практике - гораздо меньше, чтобы избежать
превращения задачи калибровки в задачу интерполирования. В работе [16]
предложен способ оценки скалярного квадрата очередного полинома
ортонормированного базиса, не прибегающий к расчету значений полинома и
основанный на значениях рекуррентных коэффициентов. Если этот квадрат
отрицателен или меньше по модулю относительной точности ЭВМ, то это
является
1006 БОГДАНОВА Н. Б., ГАДШОКОВ В., OGOGKOB Г. А.
указанием, что размерность пространства QM достигнута и дальнейшее
построение высших в лексикографическом порядке полиномов невозможно.
В некоторых практических случаях простейшие геометрические или физические
соображения приводят к выводу о необходимости ограничения степеней по
одной (или нескольким) из координат. Это осуществимо наложением
добавочных ограничений на максимально допустимые степени по некоторым
переменным, как это указано пунктиром на рис. 4. Иной пример построения
"неполной" системы
Рис. 4. Иерархия и лексикографический порядок полиномов от двух
переменных
степеней 0-6:
справа указана общая степень. Число вверху каждой клетки - порядковый
номер полинома; двойка чисел под ним - распределение степеней. Если
наложено условие линейности по оси J, необходимо пропустить (или считать
тождественными нулями) все члены семейства справа от вертикального
пунктира
ортонормированных полиномов от трех переменных с ограничениями по
степеням ix ^ 3, iy 2 и iz 6 показан на рис. 5, где изображена полная
иерархия системы до степени 6 и заштрихованы пропускаемые при указанных
ограничениях элементы базиса. У нас нет опыта использования неполных
ортонормированных базисов, кроме очевидных одномерных случаев разложения
четных функций по четным полиномам и нечетных - по нечетным. Нам
известно, что таким образом проводилась аппроксимация магнитного поля
камеры РИСК [46], но результаты опубликованы не были.
В предыдущем изложении мы не накладывали никаких условий на
пространственное расположение реперных точек в области Q. Важно отметить,
что если Q представима как прямое произведение своих подпространств
Q = х Qa, (34)
Рис. 5. Иерархия и лексикографический порядок полиномов от трех
переменных
степеней 0-6:
справа указана общая степень. Число вверху каждой клетки - порядковый
номер полинома; тройка чисел под ним - распределение степеней.
Заштрихованные члены семейства должны быть пропущены при наложении
