Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17" -> 71

Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н. Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 — М.: Энергоатомиздат, 1986. — 257 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikaelementarnihchasticiatomnogoyadra1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 111 >> Следующая

вычислений.
Количественные данные для сравнения при степенях 1-6 для одной, двух и
трех независимых переменных приведены в табл. 1.
Проведенное сравнение имеет принципиальный характер и основывается на
внутренних свойствах двух методов ортогонализации. В этой связи следует
отметить весьма интересную реализацию [17] метода Грама-Шмидта, в которой
использовалась простая мультипликативная связь между полиномами
естественного базиса для случая трех переменных, а также был выбран
наиболее выгодный порядок вычисления скалярных произведений. На основе
полученных результатов автор [17] сделал вывод о том, что метод Грама-
Шмидта имеет преимущества по сравнению с рекуррентными методами
ортонормировки. Мы не разделяем этих взглядов, так как считаем, что не
следует заменять сравнение методов сравнением их конкретных реализаций.
Класс быстрых алгоритмов типа быстрого преобразования Фурье применим, в
принципе, и к рекуррентным методам ортогонализации. Как видно из табл. 1,
относительная разность объемов необходимых расчетов падает с повышением
числа независимых
Таблица 1. Сравнение чисел скалярных произведений, чей расчет
переменных по методам Грама -
Размерность 1 Раз
Максимальная степень системы полиномов Метод
Число линейнонезависимых полиномов в системе Грама - Шмидта
рекурсии Форсайта - Вайс-фельда Число линейнонезависимых
полиномов в системе
1 2 3 3 3
2 3 6 5 6
3 4 10 7 10
4 5 15 9 15
5 6 21 11 21
6 7 28 13 28
ПРОБЛЕМЫ КАЛИБРОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 1003
переменных. Тем не менее из-за большого абсолютного объема вычислений
следует пользоваться всеми доступными средствами, приводящими к улучшению
быстродействия программ,- в том числе более экономным методом в сочетании
с удачным алгоритмом.
Дополнительным преимуществом ортогональных разложений (независимо от
способа ортогонализации и помимо улучшения обусловленности) является
взаимная независимость коэффициентов ортогонального ряда, простота
расчета полных погрешностей коэффициентов и самих рядов, а также легкость
сравнения рядов различной длины J.
Резюмируя изложенное выше, отметим еще раз три основных преимущества
ортонормировки Форсайта-Вайсфельда, полностью окупающие дополнительные
вычисления на ее реализацию: 1) быстрый и простой алгоритм; 2)
нормировка, обеспечивающая малую погрешность округления (см. также [39];
3) упрощение вычислений при подборе нужной степени J полиномов, так как
используются без изменения коэффициенты ранее вычисленных полиномов [16,
37], см. также [39].
Вообще говоря, скалярное произведение является преобразованием типа
свертки и в наиболее общем виде его можно записать как интеграл Лебега
[40]:
(/" ё) = j / (я) 8 (*) Ф-, (28)
Q
где / и g интегрируемы на множестве Q неотрицательной меры fx.
Независимая переменная х в данном случае необязательно одномерна.
Поскольку у нас х- координатный континуум, то без ограничения общности
можно записать
d\i = и) (х) dx,
необходим для ортогонализации полиномов от одной, двух и трех Шмидта и
Форсайта-Вайсфельда
мерность 2 Размерность 3
Метод Метод
Число линейно-
Грама - рекурсии Фор- независимых полиномов Грама -
рекурсии Фор-
Шмидта сайта - Вайсфельда в системе Шмидта сайта -
Вайсфельда
6 6 4 10 10
21 19 10 55 52
55 46 20 210 191
120 92 35 630 541
231 162 56 1596 1282
406 261 84 3570 2675
1004 БОГДАНОВА Н. Б., ГАДЖОКОВ В., OCOGKOB Г. А.
где w (х) - неотрицательная весовая функция. Тогда различные скалярные
произведения будут отличаться областью интегрирования й и весовой
функцией w (х). Видно, что имеется широкий выбор допустимых скалярных
произведений. Некоторые из них хорошо изучены и систематизированы:
например, для одномерного аргумента и гладких весовых функций существует
всего пять принципиально различных семейств ортогональных полиномов [43,
44]: Лежандра, Чебышева, Эрмита, Лагерра и Якоби - так называемые
классические ортогональные многочлены.
Если реперные точки более или менее равномерно распределены по полю
чувствительности ?2 калибруемого прибора, а точность определения
координат реперов приблизительно одинакова, то наиболее естественно
положить
w (х) = 1,
затем элементарным линейным преобразованием привести Q к единичному
отрезку (или квадрату при п - 2 и кубу при п = 3) и использовать
скалярное произведение вида
(Л g) = j f{x) g (x) dx. (29)
Й
Ортонормировка базиса при помощи (29) не приводит матрицу G из (25) к
диагональному виду, но все же делает ее "квазидиагональ-ной", т. е. с
резко преобладающей главной диагональю. При этом обусловленность Gj
заметно улучшается по сравнению с "естественным" базисом и численное
решение системы (25) оказывается гораздо более устойчивым. Указанный
подход был использован в работе [41], где двумерная ортогонализация была
проведена аналитически посредством системы REDUCE [45] на основе метода
Грама - Шмидта. Эта техника была использована для выражения прямых
калибровочных преобразований (т. е. для получения ожидаемых позиций
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed