Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
....Ьт) = 2 Щ {yi - 2 Xi'jb,)2 -> mill. (14)
i i
МНК - оценка В линейно выражается через Y:
В = (X^Xy^WY. (15)
Здесь W - матрица весов, которая при независимых наблюдениях имеет
диагональный вид, и?ц = aj2 = wt (о\ - дисперсия г'-го наблюдения).
Для наглядности распишем более подробно матричную запись (15) для случая
то = 2 (прямая линия: у = ах + Ь), который будет неоднократно
использоваться в дальнейшем.
Для определения двух параметров а и Ъ минимизируем функционал
п п
Ф (а, Ь)= 2 wt (yt - axt - Ъ)г = 2 (16)
г=1 г=1
С этой целью приравниваем к нулю производные Ф (а, b) и получаем систему
нормальных уравнений, которая обычно записывается с ис-
п
пользованием так называемых гауссовых скобок [wxpyq] - 2 w^yl'.
i=l
a [wx2] -j- b [w x] = [wxy]-, a\wx] + b [w] - [wy].
Детерминант системы (17) det = [wx2] [w] - [wx]2; оценки парамет-
A
ров (т. e. компоненты вектора В в двумерном случае):
А
a = [wxy] [w] - [wy] [wzj/det; 1
i Г (18)
b = [wxz] [wy] - [wxy][wx]t det J
n*
996 БОГДАНОВА Н. Б., ГАДШОКОВ В., ОСОСКОВ Г. А.
являются случайными величинами со средними а и Ь и матрицей ковариации
= iwx4),
так что
°i=0V^-bt' °ь=0 V'
[шд;а]
det
р. - (19)
а, Ъ У [ц?] [Wx2]
Оценка а может быть получена как
]/S w' k
л/~ ^mln (ai v т% •*" 2
_______
п - 2
где остаток (невязка) в i-й точке обозначен di = z/* - Уг = Vi -
А А
- ахх - Ь.
Для задач выделения образов по данным автоматического сканирования
характерно наличие отсчетов, порожденных шумовыми образованиями или
сбоями прибора. Эти засоряющие отсчеты придают данным, по которым ведется
оценка неизвестных параметров, характер неоднородной совокупности и
затрудняет применение описанных выше регрессионных методов статистики,
опирающихся на нормальность распределения всех данных. Поэтому для
устранения этого засорения используются различные способы так называемого
выброса. Почти все они сводятся к МНК - оценке регрессионных параметров
по всем данным с проверкой критерия ст < crllm (сГцш - задаваемая
константа, обычно <jllm - 10 -f- 20 мкм). При нарушении критерия
производится выброс, т. е. исключение тех то-
А А
чек, для которых \ dt | >> За, или в более надежном варианте 126] -
А А А
исключение max | dt |. После этого оценки а, Ь, а находятся снова
г
по урезанной совокупности. Критерием прекращения выброса служит малость
а.
Громоздкость и недостаточная надежность подобных процедур привели к все
более широкому использованию так называемых робастных (устойчивых)
способов оценки параметров неоднородных совокупностей.
ПРОБЛЕМЫ КАЛИБРОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 997
Суть их заключается в замене квадратичного функционала (14), (16)
функционалом с более общей функцией вклада (?):
где s - оценка параметра масштаба, равная а, если а известна.
Выбор функции вклада определяется степенью засорения и удобством
вычислений. Он направлен на снижение влияния посторонних, засоряющих
точек, т. е. на уменьшение вклада в функционал
Подробные обзоры робастных методов можно найти в [27, 28], более краткие
сведения с примерами приложений к обработке трековых данных приведены в
сообщении [29].
Здесь мы ограничимся упоминанием о двух типах функций вклада- выпуклой,
предложенной Хьюбером [28]
Метод Хьюбера корректен (функционал имеет единственный минимум) и
оптимален в минимаксном смысле [27]. Однако он дает удовлетворительные
оценки лишь при не очень тяжелых "хвостах" плотности вероятности
отклонения от среднего (коэффициент эксцесса не более 5-6). Для случаев с
большей засоренностью данных лучшие результаты дают методы с невыпуклой
функцией вида г|)2 (t),
А
активнее подавляющие влияние точек с большими | dt |. Платой за это
является возникновение ложных локальных минимумов функционала (20).
Реализуются описанные методы в виде итерационных процедур,
А А
где на каждом шагу применяется МНК с весами wt = г|/ (idt/s)ld,
вычисляемыми по оценкам параметров на предыдущих итерациях. В качестве
начальных приближений параметров выбираются либо
А. Л
МНК - оценки с wt = 1, либо априорные значения а0 и &0, если они
известны, как, например, в случае крестов калибровочной решет-
А
ки. В качестве оценки параметра масштаба s используется о =
А
= med | dt |/0,6745 - нормированная медиана (средний член вариационного
ряда модулей остатков). Коэффициент нормировки 0,6745
л
подобран так, чтобы в случае гауссова распределения а была несме-
(20)
i
Л
тех точек, отклонения которых | dt | велики.
t42, \t\<c;
c\t\-t2l2, И|>с,
и невыпуклой Тьюки [30]
(21)
998 БОГДАНОВА Н. Б., ГАДЖОКОВ В., OGOGKOB Г. А.
щенной оценкой. При увеличении засорения этот коэффициент следует
увеличить. Константа с в формуле (21) выбирается обычно равной 5 [30].
Исследование [29] показало, что надежность робастных оценок сильно
зависит от правильного выбора начальных значений
параметров. В некоторых вполне реальных ситуациях, когда после большого
разрыва во множестве точек, по которым ведутся оценки параметров,
появляется явно посторонняя точка "аутсайдер" (рис. 3), применение МНК-
