Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем перейти к описанию метода решения поставленной задачи,
необходимо рассмотреть вопрос о типах нелинейностей фун кций /х и /2, что
позволит наметить качественный путь ее решения.
Наблюдаются следующие типы нелинейностей (рис. 9): а) практически
неискаженные плечи, которые достаточно точно аппроксимируются прямыми; б)
выпуклые или вогнутые плечи с кривизной постоянного знака. Эту форму
можно с достаточной точностью представить в виде полинома второй степени;
в) S-образные плечи, у которых кривизна меняет знак. Хорошим приближением
к ним служит полином третьей степени.
Тогда /х и /2 могут быть представлены в виде
Cjiu) - Vj, 7 = 1,2, (42)
i=0
где lj = 1, 2, 3 и каждое из них можно определить индивидуально и
независимо для каждого плеча. Кроме этого, искажения могут вызывать
изменение углов между плечами креста, поэтому мы отказы-
1016 БОГДАНОВА Н. Б., ГАДЖОКОВ В., OCOCKOB Г. А.
ваемся от использования предположения о перпендикулярности плеч и
допускаем только, что плечи реперного креста пересекаются под
определенным, но неизвестным углом. Это допущение освобождает нас от
необходимости перехода к линейным шкалам на раннем этапе калибровки и,
помимо этого, упрощает алгоритм (отпадает необходимость в построении
касательных к кривым Д и /2 в точке (Ua vc)) и делает его более
универсальным, так как позволяет использовать косоугольную реперную сетку
и различные масштабы по осям и ж V.
Подстановка уравнений (42) в (40) и минимизация функционала
(41) приводит к нелинейной системе нормальных уравнений, которую можно
разложить на две независимых линейных системы типа (17) относительно
{сд}; детальное описание численно-аналитического алгоритма ее решения
можно найти в [54].
При бесфильмовом методе необходимо учитывать дополнительные искажения,
возникающие при сжатии информации, т. е. замены плеч крестов линейными
трековыми элементами [И, 56]. В [54] проведено также сравнение точности
найденных координат центра крестов при различных методах предварительной
обработки информации (например, со сжатием данных и без него).
Наиболее радикальным примером применения метода робастной полиномиальной
подгонки плеч креста может служить идея использования этого метода для
непосредственного определения полярных координат центров крестов при
спиральном сканировании, минуя трудоемкие операции перевода всех точек в
локальную систему декартовых координат и обратно.
Вычисление погрешностей координат центров. При совместном решении
аппроксимирующих уравнений плеч креста координаты точки их пересечения,
т. е..центра (ис, ус), определяются как функция от коэффициентов
аппроксимирующих полиномов. Для каждого
из этих полиномов в ходе стандартной МНК-процедуры вычисляются
ковариационные матрицы коэффициентов, что позволяет рассчитать и
погрешности координат ис, vc. Для этого необходимо подставить найденные
значения ис, vc в функционал (41) и рассчитать их погрешности, составив
якобиан уравнений в точке решения.
В качестве примера более простого пути рассмотрим случай h = h = 1. В
соответствии с (18) получаем оценки коэффициентов
А А А А
a3i Ъ]', 7 = 1, 2, определяющие две прямые v = ayi -f &у, и находим
координаты точки их пересечения:
А А А А а А А А А А А А
ис = Фг - h)/ (at - а2); vc = (atb2 - а2Ъх)! (at - a2). (43)
A A
Следуя [57], разлагаем uc и ve в ряд Тейлора относительно неизвестных
средних значений параметров, т.е. ay, by, j = 1, 2. Ограничива-
А
ясь только первым членом разложения и усредняя квадраты (ис -
ПРОБЛЕМЫ КАЛИБРОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 1017
А
-ис)2ж(ис - ус)2, получаем приближенные формулы для дисперсий:
А
(J2* Л# [(О2* + О * ) Мс + 2 (PaVt + PaVa) " ^ а-К0? + )У {Ч~~ azf\
ис 01 08 (Oi - аг) bt Н
о* " [(aJo* + ojo* ) +
т?с ai аг
+ 2(ajPa!bi+ aiPa2&2) *--------Ка2аЛ + al°? )У (а1 - аг)г"
где величины а(r) , а2* , р* л ; / = 1, 2, вычисляются по формулам (19).
а . b j a jb j
Как уже отмечалось, в случае спирального сканирования при использовании
перевода данных каждого креста в локальную систему координат для
получения там координат центра (43) происходит поворот на угол 0& = arctg
(vh/uh), что приводит к появлению в матрице ошибок отличных от нуля
корреляционных членов вида а2 (А,2 - 1) cos 0ft sin 0ft 121]. Это
значение, например при 0ft ~ я/4, уже сравнимо со значением диагональных
членов матрицы ошибок и должно учитываться при оценках калибровочных
параметров.
4. ПОСТРОЕНИЕ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Приступая ко второму этапу калибровки, мы располагаем наборами пар
идеальных {xt, yfiiLi и измеренных {ujk, ^ коорди-
нат, где iVfctSC N (по тем или иным причинам в к-м измерении могли быть
пропущены некоторые реперы), a L - число измерений. В зависимости от
способа получения набора ив полуавтомати-
ческом или автоматическом режиме сканирования решетки он может быть либо
полным, как это указано выше, либо же представлять собой значения,
усредненные по измерениям: {uj, vj}$Li. Вообще говоря, усреднение может
