Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
дополнительных ограничений i ^ 3 и i ^ 2
ПРОБЛЕМЫ КАЛИБРОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 1007
1008 БОГДАНОВА Н. Б., ГАДШОКОВ В., ОСОСКОВ Г. А.
то возможно разделение переменных и представление базисных полиномов в Q
в виде произведений элементов базиса из и Q2, причем ортонормировка в
никоим образом не связана с ортонормировкой в Q2, и наоборот.
Естественно, так как размерности подпространств ниже размерности й, такое
представление гораздо более экономично в программной реализации - ср.
размерности п = 1, п = 2ип = Зтабл. 1. Сетки реперов, для которых (34)
возможно, можно назвать псевдопериодическими: они, подобно периодическим
решеткам, состоят из "элементарных" ячеек подобной формы, но разных
размеров - рис. 6.
Рис. 6. Примеры решеток, допускающих разделение переменных
И еще одно замечание. Пока мы везде подразумевали декартову прямоугольную
систему координат, в которой полиномиальные представления наиболее
наглядны. Однако рассматриваемая рекуррентная ортонормировка не требует
непременно именно такой координатной системы. Например, не существует
никаких принципиальных препятствий проведению ортонормировки
непосредственно в полярных координатах, минуя многократные трудоемкие
переходы к декартовой системе, особенно если речь идет об изображении
локальных объектов (реперных крестов). При работе со всем полем
необходимо учесть непрерывность и гладкость аппроксимирующей функции при
0 = 0 и 0 = 2л.
Теперь, предположив, что процесс ортонормировки базиса закончен,
рассмотрим собственно аппроксимацию калибровочных зависимостей
посредством конечных рядов вида (24) при размерности М линейного
пространства QM, причем / ^ М ^ N. Заметим, что при / = М (N достижимо,
только если реперные точки не расположены на алгебраической поверхности
низшего порядка) это выражение переходит в известную интерполяционную
формулу Лагранжа
[40] или же в ее многомерные аналоги [32], что нежелательно хотя бы по
двум причинам: а) наши реперы, разумеется, измерены с конечной точностью,
и нет никаких оснований делать аппроксимацию точной в соответствующих
точках; б) интерполяция высоких порядков по
ПРОБЛЕМЫ КАЛИБРОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 1009
Лагранжу чрезвычайно нестабильна в междоузлиях. Следовательно, первый
вопрос при использовании (24) касается определения оптимального порядка
аппроксимации /. Вообще говоря, метод ортонор-мированных разложений
открыт относительно критериев обрывания ряда [47], а подбор подходящего
критерия при калибровке конкретного прибора является задачей более
физической, нежели математической. Нам не представляется возможным
сформулировать всеобщий формальный критерий, который был бы хорош на все
случаи жизни. Поэтому мы ограничимся перечислением наиболее часто
используемых критериев:
1. Достижение абсолютного минимума взвешенной суммы оста-
N
точных квадратов 2 wt [Ft -Fj (я*)]2 для / = 1, 2, . . ., М - 1
г= 1
(значение J - М исключается по причинам, указанным выше). Эта величина не
всегда монотонна по J из-за накопления погрешностей округления. Мы не
рекомендуем ее использование, так как она более характерна для
вычислительной среды, чем для решаемой задачи.
2. Достижение минимума %2, нормированного на одну степень свободы:
N
= 2 min. (35)
i= 1
Это - наиболее часто используемый статистический критерий [35, 48]. Он
корректен, но опираться только на него небезопасно.
3. Критерий Фишера [49], т. е. отсутствие значимого отличия от нуля
двух высших коэффициентов разложения, следующих за J.
4. Выполнение условия [21, 38, 48]:
wt [Ft - Fj (zf)]2< 1, i = 1, 2, . . . ,N. (36)
Геометрический смысл этого критерия состоит в прохождении
аппроксимирующей кривой (поверхности) через коридоры ошибок всех реперных
точек. Критерий очень надежен при несмещенных оценках позиций реперов и
справедливых оценках ошибок (т. е. весов).
5. Достижение априорной абсолютной | Ft - F (ж*) | ^ AF или
относительной | (Ft - F (xi))IFt | ^ А/ точности во всех реперных точках.
Этот критерий подходящ для быстрой текущей (проверочной) калибровки, если
точностные характеристики прибора А/ или AF были определены заранее иными
способами.
6. Критерий минимакса или равномерной аппроксимации
min max | Ft - Fj (х) |.
J г
7. Критерии гладкости, например:
dFj' (а:;) dx '
12-ОН 98
min max
1010 БОГДАНОВА H. Б., ГАДЖО^ОВ В., OGOGKOB Г. А,
где диапазон J' сужен по сравнению с / во избежание очевидных слу-dF
n dF g.
чаев Ж j=i ~ 0 и Ж j= 2, з n+i = constHJIH более трудоемкий,
но и более эффективный критерий монотонности аппроксимирующего ряда в
междоузлиях [50].
8. Различного вида комбинированные критерии, например, минимум
произведения трех факторов
%n-j min max | Ft - Fj (^) | min max Fi~Fj ^
J i J i * i
использованный в [51, 52] для решения задачи, не имеющей отношения к
калибровкам, но тем не менее аппроксимационной.
Приведенный список не претендует на полноту. Он просто иллюстрирует
богатую гамму известных критериев и еще раз подчеркивает необходимость
